k-tree

Интегрирование функций

Задача: посчитать площадь фигуры, которая ограничена произвольной функцией.

Пусть задана некоторая функция f : D ∈ R2 → R на закрытом интервале D=[a,b]. Разобьём область определения на промежутки и представим данный интервал в виде ряда: D = {x0=a,x1,...,xn-1,xn=b}.

Высшая сумма Римана

U(f,D) = Σni=1Mi(xi-xi-1), где Mi = sup x∈[xi-1,xi]{f(x)}

Низшая сумма Римана

L(f,D) = Σni=1Mi(xi-xi-1), где Mi = inf x∈[xi-1,xi]{f(x)}

Интеграл Римана

Пусть дана функция f ограниченная на интервале [a,b]. Функция является интегрируемой на интервале [a,b] и значение интеграла равно s, если

ba f = ba f = s ∴ ∫ba f = s

Критерий интегрируемости Римана

Функция f, ограниченная на интервале [a,b], является интегрируемой, если для любого ε > 0 существует такое разделение области определения, что U(f,D) - L(f,D) < ε

Теоремы интегрального исчисления

Теорема о среднем значении

Пусть дана непрерывная функция f : [a,b] ⊂ R → R, тогда существует c ∈ (a,b) такое, что f(c) = ∫baf(t)dt / (b-a) и это значение будет иметь смысл среднего арифметического.

Основная теорема анализа

Пусть дана непрерывная функция f(x), тогда существует некоторая дифференциируемая функция F(x) такая, что F(x) = ∫xaf(t)dt. При этом F'(x) = f(x). Функция F называется первообразной функции f. Если F и G - две первообразные фукнции f, то они различаются на константу: G(x) = F(x) + c

baf(x)dx = F(b) - F(a) = F(x) ]x=bx=a

Интегрирование по частям

d(u⋅v) = du⋅v + dv⋅u
∫udv = u⋅v - ∫v du
bau⋅dv = u⋅v]ba - ∫bav du

Замена переменной

Пусть даны две функции f и g, G - первообразная g, тогда по правилу цепочки:
(G○f(x))' = G'(f(x))⋅f'(x) = g(f(x))⋅f'(x)
Заменим t = f(x), dt = f'(x)dx и получим следующий интеграл:
∫g(f(x))f'(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C = G(f(x)) + C

Нахождение площади с помощью интеграла

Задача: найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом с радиусами a и b.

Уравнение эллипса выглядит так: x2/a2 + y2/b2 = 1.
Для расчёта площади нам необходимо получить выражение функции y=f(x), выразим y:
y = √[b2(1-x2/a2)]
Площадь фигуры:
A = 2∫a-af(x)dx = 2 ∫a-a √[b2(1-x2/a2)dx] = 2 (b/a)∫√[a2-x2]dx
Воспользуемся заменой переменной a⋅sin(t) = x, a⋅cos(t)dt = dx:
= 2(b/a)a2π/2-π/2cos2tdt = 2ba∫π/2-π/2[(1+cos2t)/2]dt = ab(t + ½sin2t)π/2-π/2 = πab

Площадь между графиками двух функций

Площадь между двумя функциями на закрытом интервале [a,b] определяется как ∫ba|f(x)-g(x)|dx. На практике проще разбить интеграл на интервалы, в которых не меняется знак и проинтегрировать найденные участки отдельно.

Объём фигуры метод дисков

Пусть дана некоторая функция f : [a,b] → R. Объём фигуры, образованной путём вращения функции вокруг оси X можно найти с помощью интеграла: V = ∫bay2dx

Длина кривой

Длина кривой, образованной некоторой функцией f, между точками a и b равна интегралу: L = ∫ba √[1+f'(x)]dx.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь поверхности тела вращения, образованного в результате вращения функции f(x) вокруг оси x, равна интегралу: A = 2π∫baf(x)√[1+f'(x)2]dx


Если Вам стало понятно - порекомендуйте статью своим друзьям:




Если Вы что-то не поняли - спросите это у нас:

Математика

Применение дифференциала

Ряд тейлора. Экстремум функции. Условные экстремумы - метод множителей Лагранжа.

• Интегрирование

Площадь под графиком. Интеграл. Первообразная.

Общая топология

Топология пространства, обозначения и виды множеств

Пределы

Предел функции. Свойства пределов. Непрерывность функции

Системы координат

Какие бывают системы координат. Перевод системы координат.

Дифференцирование

Производная. Дифференцируемость. Градиент. Матрица Якоби.




© 2015-2017 - K-Tree.ru
Копия материалов, размещённых на данном сайте, допускается только по письменному разрешению владельцев сайта.
По любым вопросам Вы можете связаться по почте info@k-tree.ru