k-tree

Математика

1. Применение дифференциала

Ряд тейлора. Экстремум функции. Условные экстремумы - метод множителей Лагранжа.

2. Интегрирование

Площадь под графиком. Интеграл. Первообразная.

3. Общая топология

Топология пространства, обозначения и виды множеств

4. Пределы

Предел функции. Свойства пределов. Непрерывность функции

5. Системы координат

Какие бывают системы координат. Перевод системы координат.

6. Дифференцирование

Производная. Дифференцируемость. Градиент. Матрица Якоби.

Термодинамика

Метрология

Статистика

Автоматика

Экология

Химия

Физика



Интегрирование функций

Задача: посчитать площадь фигуры, которая ограничена произвольной функцией.

Пусть задана некоторая функция f : D ∈ R2 → R на закрытом интервале D=[a,b]. Разобьём область определения на промежутки и представим данный интервал в виде ряда: D = {x0=a,x1,...,xn-1,xn=b}.

Высшая сумма Римана

U(f,D) = Σni=1Mi(xi-xi-1), где Mi = sup x∈[xi-1,xi]{f(x)}

Низшая сумма Римана

L(f,D) = Σni=1Mi(xi-xi-1), где Mi = inf x∈[xi-1,xi]{f(x)}

Интеграл Римана

Пусть дана функция f ограниченная на интервале [a,b]. Функция является интегрируемой на интервале [a,b] и значение интеграла равно s, если

ba f = ba f = s ∴ ∫ba f = s

Критерий интегрируемости Римана

Функция f, ограниченная на интервале [a,b], является интегрируемой, если для любого ε > 0 существует такое разделение области определения, что U(f,D) - L(f,D) < ε

Теоремы интегрального исчисления

Теорема о среднем значении

Пусть дана непрерывная функция f : [a,b] ⊂ R → R, тогда существует c ∈ (a,b) такое, что f(c) = ∫baf(t)dt / (b-a) и это значение будет иметь смысл среднего арифметического.

Основная теорема анализа

Пусть дана непрерывная функция f(x), тогда существует некоторая дифференциируемая функция F(x) такая, что F(x) = ∫xaf(t)dt. При этом F'(x) = f(x). Функция F называется первообразной функции f. Если F и G - две первообразные фукнции f, то они различаются на константу: G(x) = F(x) + c

baf(x)dx = F(b) - F(a) = F(x) ]x=bx=a

Интегрирование по частям

d(u⋅v) = du⋅v + dv⋅u
∫udv = u⋅v - ∫v du
bau⋅dv = u⋅v]ba - ∫bav du

Замена переменной

Пусть даны две функции f и g, G - первообразная g, тогда по правилу цепочки:
(G○f(x))' = G'(f(x))⋅f'(x) = g(f(x))⋅f'(x)
Заменим t = f(x), dt = f'(x)dx и получим следующий интеграл:
∫g(f(x))f'(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C = G(f(x)) + C

Нахождение площади с помощью интеграла

Задача: найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом с радиусами a и b.

Уравнение эллипса выглядит так: x2/a2 + y2/b2 = 1.
Для расчёта площади нам необходимо получить выражение функции y=f(x), выразим y:
y = √[b2(1-x2/a2)]
Площадь фигуры:
A = 2∫a-af(x)dx = 2 ∫a-a √[b2(1-x2/a2)dx] = 2 (b/a)∫√[a2-x2]dx
Воспользуемся заменой переменной a⋅sin(t) = x, a⋅cos(t)dt = dx:
= 2(b/a)a2π/2-π/2cos2tdt = 2ba∫π/2-π/2[(1+cos2t)/2]dt = ab(t + ½sin2t)π/2-π/2 = πab

Площадь между графиками двух функций

Площадь между двумя функциями на закрытом интервале [a,b] определяется как ∫ba|f(x)-g(x)|dx. На практике проще разбить интеграл на интервалы, в которых не меняется знак и проинтегрировать найденные участки отдельно.

Объём фигуры метод дисков

Пусть дана некоторая функция f : [a,b] → R. Объём фигуры, образованной путём вращения функции вокруг оси X можно найти с помощью интеграла: V = ∫bay2dx

Длина кривой

Длина кривой, образованной некоторой функцией f, между точками a и b равна интегралу: L = ∫ba √[1+f'(x)]dx.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь поверхности тела вращения, образованного в результате вращения функции f(x) вокруг оси x, равна интегралу: A = 2π∫baf(x)√[1+f'(x)2]dx



© 2015-2017 - K-Tree.ru
Копия материалов, размещённых на данном сайте, допускается только по письменному разрешению владельцев сайта.
По любым вопросам Вы можете связаться по почте info@k-tree.ru