k-tree

Дифференцирование

Производная функции от одной переменной

Производная функции f(x) показывает приращение f при бесконечно малом x.

Дана некая функция f: U → R определённая на открытом интервале U ⊂ R. Дана точка a ∈ U. Производная функции f в точке a равна пределу:

f'(a)=limh→0[(f(a+h)-f(a))/h]

Производная по направлению

Такая производная показывает приращение функции вдоль заданного направления.

Дано множество U ⊂ R2 и функция f : U → R. Дана некая точка (a,b)∈U и единичный вектор u = (c,d)∈R2. Производная функции f по направлению вектора u в точке (a,b) равна:

Duf(a,b) = limh→0[f((a,b)+h(c,d)) - f(a,b)]/h

Частные производные

Для открытого интервала U ⊂ R2 и функции f: U → R частная производная по x - это производная по направлению вектора (1,0), т.е.:

df/dx(a,b) = limh→0[f(a+h,b)-f(a,b)]/h

Аналогично, производная по t - это производная по направлению (0,1):

df/dy(a,b) = limh→0[f(a,b+h)-f(a,b)]/h

В общем случае, для n-мерного пространства, частной производной по отношению к i-й переменной, df/dxi, является предел:

df/dxi = limh→0[f(x1, x2, ..., xi+h, ..., xn) - f(x1,...,xn)]/h = limh→0f(x+hei)-f(x)/h
где 1≤i≤n и вектор e1 - вектор стандартного базиса: ei=(0,...,1,...,0) с единицой на позиции i.

Касательная плоскость к поверхности

Пусть дана функция f: U ⊂ R2 → R и точка (a,b) ∈ U. Если существует касательная плоскость в точке (a,b,f(a,b)), то она определена уравнением:

z = P(a,b)f(x,y) = f(a,b) + [df/dx(a,b)](x-a) + [df/dy(a,b)](y-b)

Пусть дана функция f: U ⊂ R2 → R, дифференциалом функции в точке (a,b) будет являться выражение:

D(a,b)f(x,y) = [df/dx(a,b)](x-a) + [df/dy(a,b)](y-b)

Дифференцируемость функции

Функция f(x,y) дифференцируема в (a,b) если существуют частные производные и следующий предел:

lim(x,y)→(0,0)[f(x,y)-(f(a,b) + D(a,b)f(x,y))]/(||(x,y)-(a,b)||) = 0

Градиент функции

Градиент-вектор функции f:U⊂Rn→R в точке a:

∇f(a) = (df/dx(a)1,...,df/dxn(a))

Теорема. Если функция f:U⊂Rn→R дифференцируема, то существуют частные производные в любом направлении и определяются как Dvf(a)=∇f(a)⋅v

Частные производные старшего порядка смешанные производные

Дана дифференцируемая функция f:U⊂Rn→R, df/dxi: U ⊂ Rn→R, производная второго порядка определяется так: d/dxj(df/dxi)(xi, ..., xn) = d2f/dxjdxi(xi, ..., xn). Таким же образом образуются частные производные старшего порядка.

Если функция f дифференцируема до степени n и все частные производные до степени n непрерывны, то функция f принадлежит классу n: f∈Cn

Теорема Шварца: смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь очерёдностью дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности.

Матрица Якоби

Пусть дана векторная функция f: U ⊂ Rn → Rm, f=(f1,...,fm) и существуют частные производные f1,...,fm в точке a∈U, матрица Якоби для f в точке a будет определена так:

df1/dx1(a)...df1/dxn(a)
Jf(a) =.........
dfm/dx1(a)...dfm/dxn(a)

Функция f дифференцируема в точке a, если существует матрица Якоби в точке а и предел:

limx→a(||f(x)-f(a)-Jf(a)(x-a)||)/(||x-a||)=0

Если Вам стало понятно - порекомендуйте статью своим друзьям:




Если Вы что-то не поняли - спросите это у нас:

Математика

Применение дифференциала

Ряд тейлора. Экстремум функции. Условные экстремумы - метод множителей Лагранжа.

Интегрирование

Площадь под графиком. Интеграл. Первообразная.

Общая топология

Топология пространства, обозначения и виды множеств

Пределы

Предел функции. Свойства пределов. Непрерывность функции

Системы координат

Какие бывают системы координат. Перевод системы координат.

• Дифференцирование

Производная. Дифференцируемость. Градиент. Матрица Якоби.




© 2015-2017 - K-Tree.ru
Копия материалов, размещённых на данном сайте, допускается только по письменному разрешению владельцев сайта.
По любым вопросам Вы можете связаться по почте info@k-tree.ru