k-tree

Математика

1. Интегрирование

Площадь под графиком. Интеграл. Первообразная.

2. Общая топология

Топология пространства, обозначения и виды множеств

3. Пределы

Предел функции. Свойства пределов. Непрерывность функции

4. Применение дифференциала

Ряд тейлора. Экстремум функции. Условные экстремумы - метод множителей Лагранжа.

5. Системы координат

Какие бывают системы координат. Перевод системы координат.

6. Дифференцирование

Производная. Дифференцируемость. Градиент. Матрица Якоби.



Дифференцирование

Производная функции от одной переменной

Производная функции f(x) показывает приращение f при бесконечно малом x.

Дана некая функция f: U → R определённая на открытом интервале U ⊂ R. Дана точка a ∈ U. Производная функции f в точке a равна пределу:

f'(a)=limh→0[(f(a+h)-f(a))/h]

Производная по направлению

Такая производная показывает приращение функции вдоль заданного направления.

Дано множество U ⊂ R2 и функция f : U → R. Дана некая точка (a,b)∈U и единичный вектор u = (c,d)∈R2. Производная функции f по направлению вектора u в точке (a,b) равна:

Duf(a,b) = limh→0[f((a,b)+h(c,d)) - f(a,b)]/h

Частные производные

Для открытого интервала U ⊂ R2 и функции f: U → R частная производная по x - это производная по направлению вектора (1,0), т.е.:

df/dx(a,b) = limh→0[f(a+h,b)-f(a,b)]/h

Аналогично, производная по t - это производная по направлению (0,1):

df/dy(a,b) = limh→0[f(a,b+h)-f(a,b)]/h

В общем случае, для n-мерного пространства, частной производной по отношению к i-й переменной, df/dxi, является предел:

df/dxi = limh→0[f(x1, x2, ..., xi+h, ..., xn) - f(x1,...,xn)]/h = limh→0f(x+hei)-f(x)/h
где 1≤i≤n и вектор e1 - вектор стандартного базиса: ei=(0,...,1,...,0) с единицой на позиции i.

Касательная плоскость к поверхности

Пусть дана функция f: U ⊂ R2 → R и точка (a,b) ∈ U. Если существует касательная плоскость в точке (a,b,f(a,b)), то она определена уравнением:

z = P(a,b)f(x,y) = f(a,b) + [df/dx(a,b)](x-a) + [df/dy(a,b)](y-b)

Пусть дана функция f: U ⊂ R2 → R, дифференциалом функции в точке (a,b) будет являться выражение:

D(a,b)f(x,y) = [df/dx(a,b)](x-a) + [df/dy(a,b)](y-b)

Дифференцируемость функции

Функция f(x,y) дифференцируема в (a,b) если существуют частные производные и следующий предел:

lim(x,y)→(0,0)[f(x,y)-(f(a,b) + D(a,b)f(x,y))]/(||(x,y)-(a,b)||) = 0

Градиент функции

Градиент-вектор функции f:U⊂Rn→R в точке a:

∇f(a) = (df/dx(a)1,...,df/dxn(a))

Теорема. Если функция f:U⊂Rn→R дифференцируема, то существуют частные производные в любом направлении и определяются как Dvf(a)=∇f(a)⋅v

Частные производные старшего порядка смешанные производные

Дана дифференцируемая функция f:U⊂Rn→R, df/dxi: U ⊂ Rn→R, производная второго порядка определяется так: d/dxj(df/dxi)(xi, ..., xn) = d2f/dxjdxi(xi, ..., xn). Таким же образом образуются частные производные старшего порядка.

Если функция f дифференцируема до степени n и все частные производные до степени n непрерывны, то функция f принадлежит классу n: f∈Cn

Теорема Шварца: смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь очерёдностью дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности.

Матрица Якоби

Пусть дана векторная функция f: U ⊂ Rn → Rm, f=(f1,...,fm) и существуют частные производные f1,...,fm в точке a∈U, матрица Якоби для f в точке a будет определена так:

df1/dx1(a)...df1/dxn(a)
Jf(a) =.........
dfm/dx1(a)...dfm/dxn(a)

Функция f дифференцируема в точке a, если существует матрица Якоби в точке а и предел:

limx→a(||f(x)-f(a)-Jf(a)(x-a)||)/(||x-a||)=0

Если Вам стало понятно - порекомендуйте статью своим друзьям:




Если Вы что-то не поняли - спросите это у нас:


© 2015-2017 - K-Tree.ru
Копия материалов, размещённых на данном сайте, допускается только по письменному разрешению владельцев сайта.
По любым вопросам Вы можете связаться по почте info@k-tree.ru