k-tree

Метрология

1. Базовые понятия метрологии

Откуда пошла метрология. Основные единицы измерения

2. Измерения

Измерения. Неопределённость. Допуск

3. Неопределённость

Неопределённость - статистическая и априорная информация

4. Суммарная неопределённость

Суммарная и расширенная неопределённость. Алгоритм расчёта неопределённости

5. Пример неопределённости

Расширенный пример расчёта неопределённости

6. Эффективные степени свободы

Экология

Статистика

Физика

Термодинамика

Химия

Математика

Автоматика



Неопределённость измерений

Неопределённость измерения типа А

К неопределённостям типа А относят любые неопределённости, которые, по своей природе, могут быть посчитаны только статистически. Результатом подсчёта является закон распределения p(q), для которого выполняются условия:

+∞-∞ p(q)dq = 1
μq = ∫+∞-∞qp(q)dq
σ2q = ∫+∞-∞ (q-μq)2p(q)dq

Статистические оценки

Статистическая оценка среднего значения μq при n замеров в одинаковых условиях:
q = 1/n Σnk=1 qk (1)
Экспериментальная дисперсия - статистическая оценка дисперсии σ2:
s2(qk) = 1/(n-1) Σnj=1 (qj - q)2 (2)
Статистическая оценка дисперсии среднего значения σ(q)2 = σ2/n:
s2(q) = s2(qk)/n (3)

Значение неопределённости

Неопределённость u(xi) статистической оценки среднего значения n замеров величины Xi равна s(Xi) (формула 3).

Степень свободы vi для значения u(xi), равная n-1 (n - количество измерений величины xi) обязательно указывается в документации к определению неопределённости типа А.

Среднее значение неопределённости

Статистическая оценка искомой величины Y, обозначаемая y, рассчитывается основываясь на статистических оценках величин x1, x2, ..., xn: y = f(x1, x2, ..., xn). Иногда предпочтительнее рассчитать статистическую оценку Y по формуле:

y = Y = 1/n Σnk=1Yk = 1/n Σnk=1f(X1,k, X2,k, ..., Xn,k)

Пример расчет неопределенности по типу А

Сложность расчёта неопределённости типа А заключается в правильном выборе метода статистического анализа, так, например, статистическая оценка дисперсии может быть получена по формуле математического ожидания, либо вычислена посредством апроксимации закона распределения к нормальному распределению с последующим выбором доверительного интервала.

Рассмотрим пример замера диаметра цилиндра, номинальным диаметром 17.45см с помощью микрометра.

Номер замераРезультат замера
117.332
217.607
317.202
417.602
517.534
617.456
717.677
817.235
917.677
1017.253
1117.384
1217.468
1317.317
1417.540
1517.619
1617.628
1717.423
1817.679
1917.621
2017.439
2117.536
2217.203
2317.689
2417.290
2517.684
2617.547
2717.341
2817.651
2917.219
3017.550
3117.283
3217.352
3317.457
3417.285
3517.253
3617.290
3717.541
3817.229
3917.325
4017.517
4117.283
4217.509
4317.285
4417.401
4517.349
4617.203
4717.329
4817.572
4917.683
Таблица 1. Результат замера диаметра цилиндра с помощью микрометра

Статистическая оценка среднего значения 49 независимых измерений легче всего определяется как среднее арифметическое, по формуле:

q = 1/n (Σnk=1qk)
q = (17.332 + 17.607 + ... + 17.683) / 49 = 17.440

Статистическая оценка дисперсии генеральной совокупности:

s2(qk) = 1/(n-1) Σnj=1(qj - q)2
s2(qk) = [(17.332 - 17.440)2 + (17.607 - 17.440)2 + ... + (17.683 - 17.440)2] / 48 = 0.026

Мы получили статистическую оценку дисперсии и значение σ = √s2 - экспериментальное значение стандартного отклонения.

Наилучшей статистической оценкой стандартного отклонения среднего значения является σ2(q) = σ2/n, которую мы получим по формуле стандартной ошибки:

s2(q) = s2(qk)/n
s2(q) = 0.026 / 49 = 0.000531

Данное значение, s2(q), описывает интервал, в котором ожидается значение μq.

Таким образом, для величины диаметра, полученного в результате 49 независимых измерений, неопределённость типа А среднего значения является u(q) = s(q):

uA(q) = 0.023043

Важно!

Данный пример является простым и не может применяться как общий случай для поиска неопределённости типа А в случаях со сложными моделями измерений. Во многих случаях, результатом измерения является сложная модель калибровки, например, основанная на методе наименьших квадратов. В таких случаях необходимо производить статистический анализ измерений. Для величин, зависимых от нескольких переменных, используется дисперсионный анализ.

Неопределённость измерения типа Б

Величины Xi, для которых статистическая оценка была получена не посредством измерений, а на основе некоторой научной информации, называется неопределённостью типа Б. Прмером такой информации может послужить: данные предыдущих измерений, опыт, спецификация производителя, данные калибровки, информация из справочников и другие источники априорных значений.

Правильное определение неопределённости типа Б основывается только на опыте и общем понимании процесса измерения. Неопределённость типа Б может быть также информативна как и неопределённость типа А исключительно в ситуациях, когда неопределённость типа А основывается на относительно малом количестве независимых измерений.

Примеры неопределённости типа Б

Неопределённость типа Б - это общее понятие, поэтому количество примеров может быть неограниченным, но общая идея - это интервал, например, "Доверительный интервал с уровнем доверия 82%", или "Неопределённость в пределах трёх стандартных отклонениях".

Пример 1. Неопределённость в стандартных отклонениях

В сертификате о калибровке указано, что действительное значение массы образца из нержавеющей стали, номинальным весом 1 кг, равно 1000,000325 г и "Неопределённость массы равна 240 мкг в пределах трёх стандартных отклонениях".

Таким образом, стандартная неопределённость: u = 240 мкг/3 = 80 мкг. Ожидаемая дисперсия: u2 = (80 мкг)2 = 6,4 • 10-9 г2.

Пример 2. Неопределённость в доверительном интервале

В сертификате о калибровке указано, что сопротивление образца Rs, с номинальным сопротивлением 10 Ом, равно 10,000742 Ом ± 129 мкОм и неопределённость 129 мкОм покрывает доверительный интервал с уровнем доверия 99%.

Стандартная неопределённость u(Rs) = (129 мкОм)/2,58 = 50 мкОм (про число 2,58 и доверительный интервал описано в статье). Относительная неопределённость u(Rs)/Rs = 5,0 • 10-6. Ожидаемая дисперсия: u2(Rs) = (50 мкОм)2 = 2,5 • 10 -9 Ом2.

Скачать статью в формате PDF.

Следующая статья - Суммарная неопределённость.

© 2015-2017 - K-Tree.ru
Копия материалов, размещённых на данном сайте, допускается только по письменному разрешению владельцев сайта.
По любым вопросам Вы можете связаться по почте info@k-tree.ru