k-tree

Неопределённость измерений

Неопределённость измерения типа А

К неопределённостям типа А относят любые неопределённости, которые, по своей природе, могут быть посчитаны только статистически. Результатом подсчёта является закон распределения p(q), для которого выполняются условия:

+∞-∞ p(q)dq = 1
μq = ∫+∞-∞qp(q)dq
σ2q = ∫+∞-∞ (q-μq)2p(q)dq

Статистические оценки

Статистическая оценка среднего значения μq при n замеров в одинаковых условиях:
q = 1/n Σnk=1 qk (1)
Экспериментальная дисперсия - статистическая оценка дисперсии σ2:
s2(qk) = 1/(n-1) Σnj=1 (qj - q)2 (2)
Статистическая оценка дисперсии среднего значения σ(q)2 = σ2/n:
s2(q) = s2(qk)/n (3)

Значение неопределённости

Неопределённость u(xi) статистической оценки среднего значения n замеров величины Xi равна s(Xi) (формула 3).

Степень свободы vi для значения u(xi), равная n-1 (n - количество измерений величины xi) обязательно указывается в документации к определению неопределённости типа А.

Среднее значение неопределённости

Статистическая оценка искомой величины Y, обозначаемая y, рассчитывается основываясь на статистических оценках величин x1, x2, ..., xn: y = f(x1, x2, ..., xn). Иногда предпочтительнее рассчитать статистическую оценку Y по формуле:

y = Y = 1/n Σnk=1Yk = 1/n Σnk=1f(X1,k, X2,k, ..., Xn,k)

Пример расчет неопределенности по типу А

Сложность расчёта неопределённости типа А заключается в правильном выборе метода статистического анализа, так, например, статистическая оценка дисперсии может быть получена по формуле математического ожидания, либо вычислена посредством апроксимации закона распределения к нормальному распределению с последующим выбором доверительного интервала.

Рассмотрим пример замера диаметра цилиндра, номинальным диаметром 21.45см с помощью микрометра.

Номер замераРезультат замера
121.305
221.525
321.441
421.544
521.321
621.323
721.381
821.460
921.446
1021.398
1121.395
1221.472
1321.597
1421.484
1521.325
1621.374
1721.426
1821.525
1921.378
2021.582
2121.429
2221.437
2321.346
2421.590
2521.433
2621.482
2721.376
2821.337
2921.340
3021.571
3121.369
3221.345
3321.496
3421.511
3521.589
3621.517
3721.534
3821.370
3921.377
4021.379
4121.469
4221.473
4321.552
4421.465
Таблица 1. Результат замера диаметра цилиндра с помощью микрометра

Статистическая оценка среднего значения 44 независимых измерений легче всего определяется как среднее арифметическое, по формуле:

q = 1/n (Σnk=1qk)
q = (21.305 + 21.525 + ... + 21.465) / 44 = 21.443

Статистическая оценка дисперсии генеральной совокупности:

s2(qk) = 1/(n-1) Σnj=1(qj - q)2
s2(qk) = [(21.305 - 21.443)2 + (21.525 - 21.443)2 + ... + (21.465 - 21.443)2] / 43 = 0.007

Мы получили статистическую оценку дисперсии и значение σ = √s2 - экспериментальное значение стандартного отклонения.

Наилучшей статистической оценкой стандартного отклонения среднего значения является σ2(q) = σ2/n, которую мы получим по формуле стандартной ошибки:

s2(q) = s2(qk)/n
s2(q) = 0.007 / 44 = 0.000159

Данное значение, s2(q), описывает интервал, в котором ожидается значение μq.

Таким образом, для величины диаметра, полученного в результате 44 независимых измерений, неопределённость типа А среднего значения является u(q) = s(q):

uA(q) = 0.012610

Важно!

Данный пример является простым и не может применяться как общий случай для поиска неопределённости типа А в случаях со сложными моделями измерений. Во многих случаях, результатом измерения является сложная модель калибровки, например, основанная на методе наименьших квадратов. В таких случаях необходимо производить статистический анализ измерений. Для величин, зависимых от нескольких переменных, используется дисперсионный анализ.

Неопределённость измерения типа Б

Величины Xi, для которых статистическая оценка была получена не посредством измерений, а на основе некоторой научной информации, называется неопределённостью типа Б. Прмером такой информации может послужить: данные предыдущих измерений, опыт, спецификация производителя, данные калибровки, информация из справочников и другие источники априорных значений.

Правильное определение неопределённости типа Б основывается только на опыте и общем понимании процесса измерения. Неопределённость типа Б может быть также информативна как и неопределённость типа А исключительно в ситуациях, когда неопределённость типа А основывается на относительно малом количестве независимых измерений.

Примеры неопределённости типа Б

Неопределённость типа Б - это общее понятие, поэтому количество примеров может быть неограниченным, но общая идея - это интервал, например, "Доверительный интервал с уровнем доверия 82%", или "Неопределённость в пределах трёх стандартных отклонениях".

Пример 1. Неопределённость в стандартных отклонениях

В сертификате о калибровке указано, что действительное значение массы образца из нержавеющей стали, номинальным весом 1 кг, равно 1000,000325 г и "Неопределённость массы равна 240 мкг в пределах трёх стандартных отклонениях".

Таким образом, стандартная неопределённость: u = 240 мкг/3 = 80 мкг. Ожидаемая дисперсия: u2 = (80 мкг)2 = 6,4 • 10-9 г2.

Пример 2. Неопределённость в доверительном интервале

В сертификате о калибровке указано, что сопротивление образца Rs, с номинальным сопротивлением 10 Ом, равно 10,000742 Ом ± 129 мкОм и неопределённость 129 мкОм покрывает доверительный интервал с уровнем доверия 99%.

Стандартная неопределённость u(Rs) = (129 мкОм)/2,58 = 50 мкОм (про число 2,58 и доверительный интервал описано в статье). Относительная неопределённость u(Rs)/Rs = 5,0 • 10-6. Ожидаемая дисперсия: u2(Rs) = (50 мкОм)2 = 2,5 • 10 -9 Ом2.

Скачать статью в формате PDF.

Если Вам стало понятно - порекомендуйте статью своим друзьям:




Если Вы что-то не поняли - спросите это у нас:

Метрология

Базовые понятия метрологии

Откуда пошла метрология. Основные единицы измерения

Измерения

Измерения. Неопределённость. Допуск

• Неопределённость

Неопределённость - статистическая и априорная информация

Суммарная неопределённость

Суммарная и расширенная неопределённость. Алгоритм расчёта неопределённости

Пример неопределённости

Расширенный пример расчёта неопределённости




© 2015-2017 - K-Tree.ru
Копия материалов, размещённых на данном сайте, допускается только по письменному разрешению владельцев сайта.
По любым вопросам Вы можете связаться по почте info@k-tree.ru