k-tree

Метрология

1 . Базовые понятия метрологии

Откуда пошла метрология. Основные единицы измерения

2 . Измерения

Измерения. Неопределённость. Допуск

3. Неопределённость

Неопределённость - статистическая и априорная информация

4 . Суммарная неопределённость

Суммарная и расширенная неопределённость. Алгоритм расчёта неопределённости

5 . Пример неопределённости

Расширенный пример расчёта неопределённости

6 . Эффективные степени свободы

Школьнику

Химия

Высшая математика

Автоматика

Экология

Электроника

Статистика

Физика

Термодинамика

Новости




Участников: 44

Присоединиться

Неопределённость измерений

Неопределённость измерения типа А

К неопределённостям типа А относят любые неопределённости, которые, по своей природе, могут быть посчитаны только статистически. Результатом подсчёта является закон распределения p(q), для которого выполняются условия:

+∞-∞ p(q)dq = 1
μq = ∫+∞-∞qp(q)dq
σ2q = ∫+∞-∞ (q-μq)2p(q)dq

Статистические оценки

Статистическая оценка среднего значения μq при n замеров в одинаковых условиях:
q = 1/n Σnk=1 qk (1)
Экспериментальная дисперсия - статистическая оценка дисперсии σ2:
s2(qk) = 1/(n-1) Σnj=1 (qj - q)2 (2)
Статистическая оценка дисперсии среднего значения σ(q)2 = σ2/n:
s2(q) = s2(qk)/n (3)

Значение неопределённости

Неопределённость u(xi) статистической оценки среднего значения n замеров величины Xi равна s(Xi) (формула 3).

Степень свободы vi для значения u(xi), равная n-1 (n - количество измерений величины xi) обязательно указывается в документации к определению неопределённости типа А.

Среднее значение неопределённости

Статистическая оценка искомой величины Y, обозначаемая y, рассчитывается основываясь на статистических оценках величин x1, x2, ..., xn: y = f(x1, x2, ..., xn). Иногда предпочтительнее рассчитать статистическую оценку Y по формуле:

y = Y = 1/n Σnk=1Yk = 1/n Σnk=1f(X1,k, X2,k, ..., Xn,k)

Пример расчет неопределенности по типу А

Сложность расчёта неопределённости типа А заключается в правильном выборе метода статистического анализа, так, например, статистическая оценка дисперсии может быть получена по формуле математического ожидания, либо вычислена посредством апроксимации закона распределения к нормальному распределению с последующим выбором доверительного интервала.

Рассмотрим пример замера диаметра цилиндра, номинальным диаметром 22.45см с помощью микрометра.

Номер замераРезультат замера
122.792
222.725
322.130
422.771
522.123
622.137
722.602
822.554
922.325
1022.136
1122.625
1222.464
1322.464
1422.788
1522.307
1622.323
1722.328
1822.640
1922.459
2022.506
2122.444
2222.275
2322.690
2422.455
2522.275
2622.768
2722.788
2822.685
2922.476
3022.789
3122.342
3222.468
3322.713
3422.372
3522.438
3622.737
3722.410
3822.239
3922.490
4022.635
4122.276
4222.315
Таблица 1. Результат замера диаметра цилиндра с помощью микрометра

Статистическая оценка среднего значения 42 независимых измерений легче всего определяется как среднее арифметическое, по формуле:

q = 1/n (Σnk=1qk)
q = (22.792 + 22.725 + ... + 22.315) / 42 = 22.483

Статистическая оценка дисперсии генеральной совокупности:

s2(qk) = 1/(n-1) Σnj=1(qj - q)2
s2(qk) = [(22.792 - 22.483)2 + (22.725 - 22.483)2 + ... + (22.315 - 22.483)2] / 41 = 0.043

Мы получили статистическую оценку дисперсии и значение σ = √s2 - экспериментальное значение стандартного отклонения.

Наилучшей статистической оценкой стандартного отклонения среднего значения является σ2(q) = σ2/n, которую мы получим по формуле стандартной ошибки:

s2(q) = s2(qk)/n
s2(q) = 0.043 / 42 = 0.001024

Данное значение, s2(q), описывает интервал, в котором ожидается значение μq.

Таким образом, для величины диаметра, полученного в результате 42 независимых измерений, неопределённость типа А среднего значения является u(q) = s(q):

uA(q) = 0.032000

Важно!

Данный пример является простым и не может применяться как общий случай для поиска неопределённости типа А в случаях со сложными моделями измерений. Во многих случаях, результатом измерения является сложная модель калибровки, например, основанная на методе наименьших квадратов. В таких случаях необходимо производить статистический анализ измерений. Для величин, зависимых от нескольких переменных, используется дисперсионный анализ.

Неопределённость типа А в эксель

Скачать: Неопределённость_А.xls

Реализация в эксель очень проста, здесь потребуется только формулы СУММ и КОРЕНЬ. Параметры рассчитываются как в примере выше:

  • Статистическая оценка среднего значения - отношение суммы результатов к их количеству
  • Статистическая оценка дисперсии генеральной совокупности - по формуле q = 1/n (Σnk=1qk)
  • Стандартное отклонение среднего значения, sq - отношение дисперсии к количеству результатов минус один
  • Стандартная неопределённость типа А - корень из стандартного отклонения среднего значения

Неопределённость измерения типа Б

Величины Xi, для которых статистическая оценка была получена не посредством измерений, а на основе некоторой научной информации, называется неопределённостью типа Б. Прмером такой информации может послужить: данные предыдущих измерений, опыт, спецификация производителя, данные калибровки, информация из справочников и другие источники априорных значений.

Правильное определение неопределённости типа Б основывается только на опыте и общем понимании процесса измерения. Неопределённость типа Б может быть также информативна как и неопределённость типа А исключительно в ситуациях, когда неопределённость типа А основывается на относительно малом количестве независимых измерений.

Примеры неопределённости типа Б

Неопределённость типа Б - это общее понятие, поэтому количество примеров может быть неограниченным, но общая идея - это интервал, например, "Доверительный интервал с уровнем доверия 82%", или "Неопределённость в пределах трёх стандартных отклонениях".

Пример 1. Неопределённость в стандартных отклонениях

В сертификате о калибровке указано, что действительное значение массы образца из нержавеющей стали, номинальным весом 1 кг, равно 1000,000325 г и "Неопределённость массы равна 240 мкг в пределах трёх стандартных отклонениях".

Таким образом, стандартная неопределённость: u = 240 мкг/3 = 80 мкг. Ожидаемая дисперсия: u2 = (80 мкг)2 = 6,4 • 10-9 г2.

Пример 2. Неопределённость в доверительном интервале

В сертификате о калибровке указано, что сопротивление образца Rs, с номинальным сопротивлением 10 Ом, равно 10,000742 Ом ± 129 мкОм и неопределённость 129 мкОм покрывает доверительный интервал с уровнем доверия 99%.

Стандартная неопределённость u(Rs) = (129 мкОм)/2,58 = 50 мкОм (про число 2,58 и доверительный интервал описано в статье). Относительная неопределённость u(Rs)/Rs = 5,0 • 10-6. Ожидаемая дисперсия: u2(Rs) = (50 мкОм)2 = 2,5 • 10 -9 Ом2.

Скачать статью в формате PDF.

Следующая статья - Суммарная неопределённость.

Вам понравилась статья? Да / Нет

Просмотров: 3 970


Поиск по сайту:

Порекомендуйте статью своим друзьям:





© 2015-2018 - K-Tree.ru • Онлайн учебник
Копия материалов, размещённых на данном сайте, допускается только по письменному разрешению владельцев сайта.
По любым вопросам Вы можете связаться по почте info@k-tree.ru