k-tree

Метрология

1. Базовые понятия метрологии

Откуда пошла метрология. Основные единицы измерения

2. Измерения

Измерения. Неопределённость. Допуск

3. Неопределённость

Неопределённость - статистическая и априорная информация

4. Суммарная неопределённость

Суммарная и расширенная неопределённость. Алгоритм расчёта неопределённости

5. Пример неопределённости

Расширенный пример расчёта неопределённости



Неопределённость измерений

Неопределённость измерения типа А

К неопределённостям типа А относят любые неопределённости, которые, по своей природе, могут быть посчитаны только статистически. Результатом подсчёта является закон распределения p(q), для которого выполняются условия:

+∞-∞ p(q)dq = 1
μq = ∫+∞-∞qp(q)dq
σ2q = ∫+∞-∞ (q-μq)2p(q)dq

Статистические оценки

Статистическая оценка среднего значения μq при n замеров в одинаковых условиях:
q = 1/n Σnk=1 qk (1)
Экспериментальная дисперсия - статистическая оценка дисперсии σ2:
s2(qk) = 1/(n-1) Σnj=1 (qj - q)2 (2)
Статистическая оценка дисперсии среднего значения σ(q)2 = σ2/n:
s2(q) = s2(qk)/n (3)

Значение неопределённости

Неопределённость u(xi) статистической оценки среднего значения n замеров величины Xi равна s(Xi) (формула 3).

Степень свободы vi для значения u(xi), равная n-1 (n - количество измерений величины xi) обязательно указывается в документации к определению неопределённости типа А.

Среднее значение неопределённости

Статистическая оценка искомой величины Y, обозначаемая y, рассчитывается основываясь на статистических оценках величин x1, x2, ..., xn: y = f(x1, x2, ..., xn). Иногда предпочтительнее рассчитать статистическую оценку Y по формуле:

y = Y = 1/n Σnk=1Yk = 1/n Σnk=1f(X1,k, X2,k, ..., Xn,k)

Пример расчет неопределенности по типу А

Сложность расчёта неопределённости типа А заключается в правильном выборе метода статистического анализа, так, например, статистическая оценка дисперсии может быть получена по формуле математического ожидания, либо вычислена посредством апроксимации закона распределения к нормальному распределению с последующим выбором доверительного интервала.

Рассмотрим пример замера диаметра цилиндра, номинальным диаметром 16.5см с помощью микрометра.

Номер замераРезультат замера
116.499
216.686
316.365
416.544
516.652
616.319
716.479
816.731
916.399
1016.521
1116.321
1216.333
1316.293
1416.682
1516.739
1616.594
1716.799
1816.619
1916.631
2016.466
2116.772
2216.390
2316.610
2416.228
2516.218
2616.440
2716.692
2816.326
2916.619
3016.374
3116.642
3216.317
3316.260
Таблица 1. Результат замера диаметра цилиндра с помощью микрометра

Статистическая оценка среднего значения 33 независимых измерений легче всего определяется как среднее арифметическое, по формуле:

q = 1/n (Σnk=1qk)
q = (16.499 + 16.686 + ... + 16.26) / 33 = 16.502

Статистическая оценка дисперсии генеральной совокупности:

s2(qk) = 1/(n-1) Σnj=1(qj - q)2
s2(qk) = [(16.499 - 16.502)2 + (16.686 - 16.502)2 + ... + (16.26 - 16.502)2] / 32 = 0.030

Мы получили статистическую оценку дисперсии и значение σ = √s2 - экспериментальное значение стандартного отклонения.

Наилучшей статистической оценкой стандартного отклонения среднего значения является σ2(q) = σ2/n, которую мы получим по формуле стандартной ошибки:

s2(q) = s2(qk)/n
s2(q) = 0.030 / 33 = 0.000909

Данное значение, s2(q), описывает интервал, в котором ожидается значение μq.

Таким образом, для величины диаметра, полученного в результате 33 независимых измерений, неопределённость типа А среднего значения является u(q) = s(q):

uA(q) = 0.030150

Важно!

Данный пример является простым и не может применяться как общий случай для поиска неопределённости типа А в случаях со сложными моделями измерений. Во многих случаях, результатом измерения является сложная модель калибровки, например, основанная на методе наименьших квадратов. В таких случаях необходимо производить статистический анализ измерений. Для величин, зависимых от нескольких переменных, используется дисперсионный анализ.

Неопределённость измерения типа Б

Величины Xi, для которых статистическая оценка была получена не посредством измерений, а на основе некоторой научной информации, называется неопределённостью типа Б. Прмером такой информации может послужить: данные предыдущих измерений, опыт, спецификация производителя, данные калибровки, информация из справочников и другие источники априорных значений.

Правильное определение неопределённости типа Б основывается только на опыте и общем понимании процесса измерения. Неопределённость типа Б может быть также информативна как и неопределённость типа А исключительно в ситуациях, когда неопределённость типа А основывается на относительно малом количестве независимых измерений.

Примеры неопределённости типа Б

Неопределённость типа Б - это общее понятие, поэтому количество примеров может быть неограниченным, но общая идея - это интервал, например, "Доверительный интервал с уровнем доверия 82%", или "Неопределённость в пределах трёх стандартных отклонениях".

Пример 1. Неопределённость в стандартных отклонениях

В сертификате о калибровке указано, что действительное значение массы образца из нержавеющей стали, номинальным весом 1 кг, равно 1000,000325 г и "Неопределённость массы равна 240 мкг в пределах трёх стандартных отклонениях".

Таким образом, стандартная неопределённость: u = 240 мкг/3 = 80 мкг. Ожидаемая дисперсия: u2 = (80 мкг)2 = 6,4 • 10-9 г2.

Пример 2. Неопределённость в доверительном интервале

В сертификате о калибровке указано, что сопротивление образца Rs, с номинальным сопротивлением 10 Ом, равно 10,000742 Ом ± 129 мкОм и неопределённость 129 мкОм покрывает доверительный интервал с уровнем доверия 99%.

Стандартная неопределённость u(Rs) = (129 мкОм)/2,58 = 50 мкОм (про число 2,58 и доверительный интервал описано в статье). Относительная неопределённость u(Rs)/Rs = 5,0 • 10-6. Ожидаемая дисперсия: u2(Rs) = (50 мкОм)2 = 2,5 • 10 -9 Ом2.

Скачать статью в формате PDF.

Следующая статья - Суммарная неопределённость.
Если Вам стало понятно - порекомендуйте статью своим друзьям:




Если Вы что-то не поняли - спросите это у нас:


© 2015-2017 - K-Tree.ru
Копия материалов, размещённых на данном сайте, допускается только по письменному разрешению владельцев сайта.
По любым вопросам Вы можете связаться по почте info@k-tree.ru