Суммарная неопределённость
Рассмотрим результат измерения Y, выраженный функцией других измерений X1, X2, ..., Xn
Y = f(X1, X2, ..., Xn)
Суммарная неопределённость независимых измерений
Суммарная неопределённость является комбинацией всех измерений, при этом результаты измерения могут быть независимыми или коррелировать друг с другом. Для независимых измерений, суммарная дисперсия (uc2(y)) определяется по формуле:
uc2(y) = Σni=1[df/dxi]2u2(xi)
Где f - модель измерения, ui - неопределённость типа А или Б.
В случае, если нелинейность функции f критична, ряд Тейлора для производной df/dxi должен включать старшие степени:
Σni=1Σnj=1[½[d2f/(dxidxj)]2 + df/dxi d3f/dxidxj2]u2(xi)u2(xj)
Частные производные модели измерения вычисленные в точке μ(xi), называются коэффициентами чувствительности и описывают изменение математического ожидания y в зависимости от математического ожидания независимых величин измерения. В частности, изменение y, вызванное небольшим изменением Δxi, выражается так: (Δy)i = (df/dxi)(Δxi). Если причиной данного изменения является неопределённость математического ожидания xi, изменение y выражается как (df/dxi)u(xi). Суммарная дисперсия uc2(y) может быть выражена как сумма дисперсий каждого из xi, отсюда:
uc2 = Σi=1n[ciu(xi)]2 = Σ ui2(y)
Где ci = df/dxi и ui(y) = |ci|u(xi)
Суммарная неопределённость может быть вычислена заменив ciu(xi) на следующее выражение:
Zi = ½{f[x1, ..., xi + u(xi), ..., xn] - f[x1, ..., xi - u(xi), ..., xn]}
Таким образом, мы рассчитываем изменения y в результате изменения xi в интервале между +u(xi) и -u(xi). Значение ui(y) может быть принято |Zi|, соответствующий коэффициент чувствительности ci равен Zi/u(xi).
Коэффициент чувствительности ci также может быть получен в результате измерения y при фиксированных значениях x, изменяя xi, при этом будет теряться истинная природа значения функции f, так как значение ci будет получено эмпирически.
Суммарная неопределённость зависимых измерений
В случае, когда величины xi имеют корреляционную зависимость, необходимо изменить формулу суммарной дисперсии:
u2c(y) = Σni=1Σnj=1df/dxi • df/dxj u(xi,xj) = Σi=1n [df/dxi]2u2(xi) + 2 Σn-1i=1Σnj=i+1 df/dxi• df/dxj u(xi,xj)
Где xi, xj - ожидаемые значения Xi и Xj, u(xi,xj) - ковариация значений xi и xj.
Коэффициент корреляции:
r(xi, xj) = r(xj, xi) = u(xi, xj)/u(xi)u(xj)
r ∈ [-1,1], если математические ожидания xi и xj независимы, то r=0.
uc2 = Σi=1n[ciu(xi)]2 + 2 Σn-1i=1Σnj=i+1 cicj u(xi) u(xj) r(xi,xj)
Так, если все величины имеют прямую зависимость (r=1), уравнение примет вид:
uc2(y) = [Σni=1ciu(xi)]2 = [Σni=1df/dxiu(xi)]2
Расширенная неопределённость
Расширенная неопределённость (U) определяется доверительным интервалом суммарной неопределённости: U = kuc(y). На практике, когда количеством степеней свободы uc(y) можно пренебречь, используют значения k=2 для доверительного интервала 95% и k=3 для доверительного интервала 99%. Когда число степеней свободы известно, а неопределённости подчиняются закону нормального распределения, в качестве критерия k используется критерий Стьюдента.
Общий алгоритм расчёта неопределённости
1. В первую очередь необходимо составить модель измерений Y = f(X1, X2, ..., Xn). Модель измерений должна включать все величины и все коррекционные значения, которые могут повлиять на результат измерения.
2. Определить статистическую оценку среднего значения Xi с помощью статистического анализа или других методов.
3. Выразить значение неопределённости u(xi) каждой статистической оценки среднего значения xi. Если среднее значение было получено статистическим анализом, то используется неопределённость типа А, в остальных случаях неопределённость типа Б.
4. Выразить значения ковариации для всех измеряемых величин, имеющих корреляционную зависимость.
5. Посчитать результат измерения: статистическая оценка y измеряемой величины Y на основе модели измерения f, используя в качестве статистических оценок Xi значения xi, полученные на втором этапе.
6. Определить суммарную неопределённость uc(y) результата измерений, y, основываясь на неопределённостях и ковариации статистических оценок средних значений.
7. В случае необходимости, вычислить расширенную неопределённость U.
