k-tree

Метрология

1. Базовые понятия метрологии

Откуда пошла метрология. Основные единицы измерения

2. Измерения

Измерения. Неопределённость. Допуск

3. Неопределённость

Неопределённость - статистическая и априорная информация

4. Суммарная неопределённость

Суммарная и расширенная неопределённость. Алгоритм расчёта неопределённости

5. Пример неопределённости

Расширенный пример расчёта неопределённости

Автоматика

Экология

Статистика

Физика

Термодинамика

Химия

Математика



Пример расчёта неопределённости

Данный пример переведён из документа ISO 98-3:2008, изменён и дополнен дополнительной теоретической информацией для лучшего понимания. Норма ISO 98-3 описывает расчёт неопределённости, на русский язык стандарт переведён в документе ГОСТ 54500.3

Постановка задачи

Длина калибруемой детали номинальной длины 50мм определяется сравнением с другим образцом, заранее известной длины. Сравнивая два образца, мы получаем разницу длин, которая выражается формулой:

(1) d = l(1 + αθ) - ls(1 + αsθs)
  • l - длина калибруемой детали при температуре 20 °C
  • ls - длина образца при температуре 20 °C, обозначенная в соответствующей документации
  • α, αs - коэффициенты теплового расширения детали и образца
  • θ, θs - среднеквадратичное отклонение замера при температуре 20 °C

Дополнительная информация к условию задачи

На основе 25 независимых измерений с помощью используемого инструмента, было определено экспериментальное среднеквадратичное отклонение равное 13 нм. Значение эффиктивного числа степеней свободы равно 18. Сертификат калибровки измерительного инструмента для сравнения двух длин указывает, что основываясь на шести измерениях, неопределённость из-за случайных ошибок равна ±0,01 мкм с уровнем доверия 95%, неопределённость при систематических ошибках равна 0,02 мкм на уровне трёх среднеквадратичных отклонений (достоверность 25%). Коэффициент теплового расширения образца: αs = 11,5 × 10-6 °C-1, неопределённость задана квадратным распределением с границами ± 2 × 10-6 °C-1. Температура в измерительной камере (19,9 ± 0,5) °C. Разница температур детали и образца находится в интервале ±0,05 °C.

Модель измерения

(2) l = [ls(1 + αsθs) + d] / (1 + αθ) = ls + d + ls(αsθs - αθ) + ...

Если мы будем использовать температуру образца и температуру детали в модели измерения, то необходимо будет учесть корреляцию между данными величинами. Что бы избежать усложнений, введём разницу температур детали и образца: δθ = θ - θs и введём предположение, что θ и δθ не коррелируют друг с другом. То же для разницы коэффициентов расширения δα = α - αs

Предположим, что δθ и δα равны нулю, но не равны нулю соответствующие неопределённости.

(3) l = f(ls,d,αs,θ,δα,δθ) = ls + d - ls[δα·θ + αs·δθ]

Из уравнения (3) следует, что статистическая оценка длины детали, l, может быть получена из простого уравнения ls + dμ, где ls - обозначенная в документации длина образца при 20°C, dμ - статистическая оценка среднего, полученная расчётом среднего арифметического пяти (n=5) независимых измерений.

Суммарная неопределённость

Согласно формуле суммарной определённости, неопределённость из формулы модели измерения (3):

(4) u2c(l) = c2s·u2c(ls) + c2d·u2c(ld) + c2αs·u2c(αs) + c2θ·u2c(θ) + c2δα·u2c(δα) + c2δθ·u2c(δθ)
где
cs = ∂f/∂ls = 1 - (δα·θ + αs·δθ) = 1
cd = ∂f/∂d = 1
cαs = ∂f/∂αs = -lsδθ = 0
cθ = ∂f/∂θ = -lsδα = 0
cδα = ∂f/∂δα = -lsθ
cδθ = ∂f/∂δθ = -lsα
Откуда следует:
(5) u2c(l) = u2(ls) + u2(d) + l2sθ2u2(δα) + l2sα2su2(δθ)

Неопределённость образца u(ls)

В документации к образцу обозначена расширенная неопределённость U = 0,075 мкм с коэффициентом перекрытия k=3. Следовательно:

u(ls) = (0,075 мкм) / 3 = 25 нм

Неопределённость разницы длин u(d)

Экспериментальное среднеквадратичное отклонение сравнения разницы длин l и ls основано на результате 25 независимых измерений и оно равно 13 нм. В данном примере мы произвели 5 замеров, откуда стандартная неопределённость среднего значения данных измерений равна:

u(dμ) = s(dμ) = (13 нм)/√5 = 5,8 нм

Неопределённость случайной ошибки измерительного инструмента, согласно распределению Стьюдента со стпенью свободы ν = 6 - 1 = 5, при коэффициенте перекрытия k = t95(5) = 2,57:

u(d1) = (0,01мкм) / 2,57 = 3,9 нм

Неопределённость систематической ошибки измерительного инструмента:

u(d2) = (0,02 мкм) / 3 = 6,7 нм

Суммарная неопределённость:

u2(d) = u2(dμ) + u2(d1) + u2(d2) = 93 нм2
u(d) = 9,7 нм

Неопределённость коэффициента теплового расширения u(αs)

u(αs) = (2 × 10-6 °C-1) / √3 = 1,2 × 10 -6 °C-1

Неопределённость теплового расширения образцаu(θ)

Максимальное отклонение температуры в процессе замера, Δ = 0,5°C. Предположим, что температура изменяется в заданных пределах по циклическому закону, по синусоиде, тогда:

σt = √[∫(t-tμ)2sin(t)dt] = √2
u(Δ) = (0,5 °C) / √2 = 0,35 °C

Неопределённость средней температуры в измерительной камере следует из среднекватратичного отклонения среднего значения:

θμ = 19,9°C - 20°C = -0,1 °C
u(θμ) = ±(-0,1 °C) = 0,2 °C.

Среднекватратичное отклонение θ может быть взята как среднеквадратичное отклонение среднего значения θμ, откуда следует неопределённость:

u2(θ) = u2(θμ) + u2(Δ) = 0,165 °C2
u(θ) = 0,41 °C

Неопределённость разницы коэффициентов теплового расширенияu(δα)

Статистическое ожидание δα равно 1 × 10-6 °C-1 с равной вероятностью, что значение δα окажется в заданных пределах, откуда стандартная неопределённость:

u(δα) = (1 × 10-6 °C-1) / √3 = 0,58 × 10 -6 °C-1

Неопределённость разницы температурu(δθ)

u(δθ) = (0,05 °C) / √3 = 0,029 °C

Стандартная суммарная неопределённостьuc(l)

Суммарная неопределённость расчитаем по формуле (5):

uc2(l) = (25 нм)2 + (9,7 нм)2 + (0,05 м)2(-0,1 °C)2(0,58 × 10-6 °C-1)2 + (0,05 м)2(11,5 × 10-6°C-1)2(0,029 °C)2 = 1002 нм2
uc(l) = 32 нм
Из расчётов видно, что основной вклад в неопределённость вносит неопределённость образца

Если модель измерения Y = f(X1, X2, ..., Xn) имеет нелинейность на измеряемом участке, необходимо включить неопределённости старших порядков, тогда:

uc2(l) = (25 нм)2 + (9,7 нм)2 + (0,05 м)2(-0,1 °C)2(0,58 × 10-6 °C-1)2 + (0,05 м)2(11,5 × 10-6°C-1)2(0,029 °C)2 + (0,05 м)2(0,58 × 10-6°C-1)2(0,41 °C)2 + (0,05 м)2(1,2 × 10-6°C-1)2(0,029 °C)2 + 1140 нм2
uc(l) = 34 нм

Результат измерения

Из сертификата образца имеем ls = 50,000623 мм при 20°C. Среднее значение разницы длин в результате пяти независимых измерений равно 215 нм. Длина детали l = ls + dμ при 20 °C равна 50,000838 мм.

Расчёт относительной неопределённости

Относительная неопределённость рассчитывается как отношение неопределённости к результату измерения. Результат измерения l = 50,000838 мм, при суммарной неопределённости uc = 32 нм. Тогда относительная суммарная неопределённость равна uc / l = 6,4 × 10-7

Расчёт эффективных степеней свободы

Расчёт эффективных степеней свободы производится по уравнению Welch–Satterthwaite:

νeff = uc4(y) / Σni=1ui4(y)/νi
Если u(xi) - неопределённость типа Б, то, как правило, число степеней свободы стремится к бесконечности, иначе число степеней свободы для n измерений рассчитывается по следующему алгоритму: если статистическая оценка среднего рассчитывается по формуле среднего арифметического, то ν = n - 1, если статистическая оценка определяется методом наименьших квадратов с использованием m независимых факторов, то ν = n - m.

Число степеней свободы образца задано сертификатом калибровки, νeff(ls) = 18.

Значение dμ было получено основываясь на пяти измерениях, но значение неопределённости было получено основываясь на 25 измерениях, количество степеней свободы dμ: ν(dμ) = 25 - 1 = 24. Число степеней свободы d1: ν(d1) = 6 - 1 = 5. Число степеней свободы для ν(d2) = 8. Откуда число степеней свободы νeff(d) = 25,6. Для расчёта неопределённости разницы коэффициентов расширения зададимся уровнем значимости 10%, в таком случае u(δα) = 50. Для расчёта неопределённости разницы температур зададимся уровнем значимости 50%, тогда u(δθ) = 2.

veff(l) = (32 нм)4/[(25 нм)4/18 + (9,7 нм)4/25,6 + (2,9 нм)4/50 + (16,6 нм)4/2] = 16,7
ui(x) Источник неопределённости Значение неопределённости ci∂f/∂xi ui(l) ≡ |ci|u (xi) (нм) Число степеней свободы
u(ls)Калибровка образца25 нм12518
u(d)Измерение разницы длин детали и образца9,7 нм19,725,6
u(dμ)Независимые измерения5,8 нм24
u(d1)Случайные ошибки3,9 нм5
u(d2)Систематические ошибки6,7 нм8
u(αs)Коэффициент теплового расширения образца1,2 × 10-6 °C-100
u(θ)Температура измерительной камеры0,41 °C-100
u(θμ)Средняя температура измерительной камеры0,2 °C
u(Δ)Циклическое изменение температуры в измерительной камере0,35 °C
u(δα)Разница коэффициентов расширения0,58 × 10-6 °C-1lsθ2,950
u(δθ)Разница коэффициентов расширения0,029 °C-lsαs16,62
uc2(l) = Σui2(l) = 1002 нм2
uc(l) = 32 нм
νeff(l) = 16
Таблица 1. Суммарная неопределённость и её составляющие

Расширенная неопределённость

Предположим, что необходимо получить расширенную неопределённость U99 = k99 uc(l) с доверительным интервалом приблизительно 99%. Эффективное значение степеней свободы стандартной суммарной неопределённости, равное 16,7 округляем исключительно в меньшую сторону. Значение распределения Стьюдента, согласно таблице, равно t99(16) = 2,92, откуда U99 = t99(16)uc(l) = 2,92 × (32 нм) = 93 нм.

l = (50,000 838 ± 0,000 093) мм, где погрешность вычислена как расширенная неопределённость U = kuc. uc - расширенная неопределённость с коэффициентом покрытия k = 2,92, который был определён из распределения Стьюдента для 16 степеней свободы и доверительным интервалом 99%. Соответствующая расширенная относительная неопределённость U/l = 1,9 × 10-6

Скачать статью в формате PDF.


© 2015-2017 - K-Tree.ru
Копия материалов, размещённых на данном сайте, допускается только по письменному разрешению владельцев сайта.
По любым вопросам Вы можете связаться по почте info@k-tree.ru