k-tree

Кинематика

1. Уравнения движения в цилиндрических координатах

2. Движение по окружности, вращательное движение

3. Кинематика

Динамика



Уравнения движения в цилиндрических координатах

Если материальная точка P движется по кривой траектории, то положение точки может быть определено тремя цилиндрическими координатами: r, ?, z. Тогда положение точки, её скорость и ускорение могут быть записаны в единицах цилиндрических координат следующим образом:

rp = rur + zuz
v = drp/dt = dr/dt ur+ r d?/dt u? + dz/dt uz
a = d2rp/dt2= (d2r/dt2rd?2/dt)ur +(rd2?/dt2 + 2dr/dt d?/dt)u? + d2z/dt2uz

Если разложить силу, действующую на материальную точку, вдоль единичных векторов цилиндрической системы координат, то уравнение движения можно записать в виде:

?F = ma
?Fr ur + ?F? u?+ ?Fr ur = marur+ ma?u? + mazuz

Для выполнения равенства, соответствующие компоненты ur,u?,uz левой части уравнения должны быть равны соответствующим компонентам в правой части уравнения. Таким образом, уравнение движения можно записать с помощью следующих скалярных компонентов:

?Fr = mar
?F? = ma?
?Fz = maz

Если движение происходит в двумерных координатах r-?, то для описания движения необходимы только два первых уравнения.

Центростремительное и нормальное ускорение

Обычно задача заключается в определении компонентов результирующей силы: ?F?,?Fr, ?Fz , которые приводят частицу в движение и задают ей определённое ускорение.

Пример

Сила P создаёт движение по траектории r = f(?). Нормальная сила N всегда перпендикулярна касательной траектории в данной точке, в то время, как сила трения F всегда направлена вдоль касательной и против направления движения. Направления сил N и F могут быть определены относительно r-координаты используя угол ?, который определён между прямой-направлением радиуса и касательной в заданной точке.

Угол ? определяется смещением точки на расстояние ds вдоль траектории, радиальное перемещение составляет dr и перемещение в направлении касательной r d?. Так как эти две составляющиевзаимно перпендикулярны, угол ? можетбыть определён из равенства:

tg ? = r d?/ dr 

или

tg ? = r / dr/d?

Если угол ? положителен, то он измеряется от радиальной линии против направления хода часов или в положительном направлении угла ?. Если угол отрицательный, то он измеряется в обратном направлении (по часовой стрелке).

Например, кардиоида, описанная уравнением

r = a(1 + cos ?) 

dr / d? = - a sen ?

когда ?=30?, tg = a(1+ cos 30?)/(-a sen 30?) = -3.732, или ? = -75?, измеренный против направления хода часов, как представлено на изображении.

Алгоритм решения задач

Цилиндрические координаты удобно использовать для анализа систем, в которых траектории движения заданы относительно радиальной линии, или могут быть удобным образом выражены в цилиндрических координатах. Определив координаты точки, уравнения движения могут быть применены для выражения силы в виде компонентов ускорения.

  1. Установить инерциальную систему координат r, ?, z и изобразить диаграмму свободного тела
  2. Положить ускорения ar, a?, az направлены вдоль положительного направления осей r, ?, z, если направления неизвестны

  3. Определить все неизвестные величины в задачи

  4. Применить уравнения движения

  5. Определить r и производные по времени dr/dt, d2r/dt2, d?/dt,d2?/dt2, d2z/dz2, затем применить уравнения ускорения
    • ar= d2r/dt2- r d?2/dt
    • a? = r d2?/dt2+ 2 dr/dt d?/dt
    • az= d2z/dt2
  6. Если какой-либо из компонентов ускорения рассчитан со знаком минус,то этот компонент ускорения направлен вдоль отрицательного направления оси координат


© 2015-2017 - K-Tree.ru
Копия материалов, размещённых на данном сайте, допускается только по письменному разрешению владельцев сайта.
По любым вопросам Вы можете связаться по почте info@k-tree.ru