k-tree

Кинематика

Кинематика изучает движение независимо от того, чем эти движения были вызваны. В кинематике рассматриваются идеализированные модели объектов, которые не имеют массы и размеров.

Материальная точка

Материальная точка (М.Т.) - идеализированный объект, объём которого считается нулевым в условиях рассматриваемой задачи, например:

  1. Машина едет из Москвы в Санкт-Петербург — обозначаем машину материальной точкой, поскольку её размеры не имеют значения для решения задач кинематики
  2. Луна вращается вокруг земли — обозначим луну и землю материальными точками, поскольку их размеры не имеют значения для решения задач кинематики

Абсолютное и относительное движение

Если система координат, в которой рассматривается положение м.т., действительно неподвижна, то такое движение м.т. называется абсолютным. Когда система координат подвижна, то движение м.т. называется относительным.

В реальности, в мире не существует неподвижных точек, следовательно, любое движение относительно, поэтому при описании движения всегда необходимо указывать систему координат в которой ведётся расчёт.

Почему так важно указывать точку отсчёта? Представьте, что к вам на встречу идёт кот: если Вы выберете в качестве точки отсчёта кота — Вы идёте к нему навстречу, в то время, как кот стоит на месте.

Точку отсчёта можно выбирать абсолютно любой, но от выбранной точки отсчёта зависит насколько сложными будут уравнения движения и решение задачи.

Радиус-вектор

Для того, что бы описать движение материальной точки, необходимо установить связь между положением материальной точки (в выбранной системе отсчёта) и временем. Поскольку мы имеем установленную систему координат, положение материальной точки в пространстве может быть однозначно описано радиус-вектором r, положение точки в любой момент времени описывается функцией радиус-вектора, математически это записывается так:

r = r (t)

Если разложить радиус-вектор на компоненты, то мы получим функции от времени для проекции вектора на оси координат, в зависимости от системы координат мы будем иметь различное количество уравнений:

ri = ri(t)

rj = rj(t)

Траектория

Траектория — кривая, представляющая из себя множество точек по которой движется материальная точка, любая геометрическая фигура может являться траекторией.

Траектория. Аналитическое выражение

Аналитически геометрическое место точек траектории задаётся пересечением двух плоскостей, уравнения плоскостей соответственно:

f1 (i, j, …) = 0

f2 (i, j, …) = 0

Обозначим точку P0(i, j, ...) точкой начала движения, тогда положение материальной точки в любой момент времени можно выразить временной функцией траектории:

s = s (t)

Данная функция траектории позволяет нам найти длину пройденной траектории в любой момент времени в заданном направлении. Формула длины кривой выбирается исходя из выбранной системы координат и решаемой задачи.

Вектор перемещения

Рассмотрим перемещение материальной точки из положения r0 в положение r1 за время Δt, обозначим за Δi, Δj … соответствующие перемещения по координатам i, j … , тогда изменение радиус-вектора будет:

Δr = Δi•i + Δj•j + …

Учитывая, что r1 = r0 + Δr, новые координаты будут соответственно:

  • i1 = i0 + Δi
  • j1 = j0 + Δj

Таким образом, вектор перемещения можно выразить через начальные и конечные координаты движения, либо через начальные координаты и перемещения по осям системы отсчёта.

Вектор средней скорости

Вектор средней скорости определяется как отношение вектора перемещения ко времени

v = Δr / Δt

Вектор мгновенной скорости

Используя знания о средней скорости, мгновенную скорость можно получить когда временной интервал стремится к нулю:

v = lim (Δt → 0)(Δr/Δt) = dr/dt = r'

Единичный вектор в направлении вектора мгновенной скорости:

Δ = lim (Δt → 0)(Δr/Δs)

Тогда вектор мгновенной скорости выражается так:

v = v · dr = ds/dt = r'

Вектор среднего ускорения

Вектор среднего ускорения это отношение изменения вектора скорости ко времени, в течение которого произошло изменение:

a = [v(t + Δt) – v(t)]/Δt = Δv/Δt
в отличие от вектора скорости, который всегда направлен по касательной к траектории, вектор ускорения может иметь любое направление. Вектор ускорения Изменение вектора скорости в течение бесконечно малого интервала времени Δt называется мгновенным вектором ускорения, или просто вектором ускорения
a = lim (Δt → 0)(Δv/Δt) = dv/dt = v' = d/dt · dr/dt = d2r/dt2 = r''

Если Вам стало понятно - порекомендуйте статью своим друзьям:




Если Вы что-то не поняли - спросите это у нас:




© 2015-2017 - K-Tree.ru
Копия материалов, размещённых на данном сайте, допускается только по письменному разрешению владельцев сайта.
По любым вопросам Вы можете связаться по почте info@k-tree.ru