Биномиальное распределение

Неверно писать биномиНальное, верно - «биномиальное».

Данная статья подразумевает, что Вы уже знакомы с основами статистики, в частности, что такое закон распределения и какими параметрами он характеризуется.

Биномиальное распределение - это описание «N» независимых экспериментов, результат которых всегда либо строго положителен либо строго отрицателен. Важно, что эксперименты проводятся в одних и тех же условиях. В качестве примера можно рассмотреть подбрасывание монеты или угадывание результатов теста, в случае с монетой положительным результатом станет «орёл» и при угадывании теста - правильный ответ.

Проводимые эксперементы должны быть независимы, это означает, что результат последующего не зависит от результата предыдущего.

В результате проведения ряда экспериментов мы получим вероятность положительного исходного событий, в приведённом эксперименте орёл выпал 19 раз, значит вероятность выпадения орла равна:

P(x) = N_удачно/N_всего = 19/33 = 0.58

Формула биномиального распределения

Биномиальное распределение зависит от двух параметров: число испытаний и количество успешных событий.

Формула функции вероятности биномиального распределения:

P(X) = (ⁿ_k)·p^k·q^n-k, (ⁿ_k) - биномиальный коэффициент
(ⁿ_k) = (n!)/[(n-k)!k!]

И, поскольку распределение дискретное, формула функции распределения записывается как сумма вероятностей:

k ∈ [0, ⌊y⌋], F(X) = Σ(ⁿ_k)·p^kq^n-k

Значения математического ожидания и дисперсии распределения Бернулли равны соответственно:

E[X] = np
D[X] = npq

Пример

Пользуясь данными таблицы 1 оценим монетку и в следующий раз при броске загадаем нужную нам сторону :) .

Предположим мы подбросим пять раз монету, чья сторона выпала больше - тот и побеждает, какова вероятность что орёл победит?

Исходные данные:
n = 5
k = 3
p = 0.58
q = 0.42

Вероятности:
P(n = 5, k = 3) = 120 / [2 · 6] · 0.58³ · 0.42² = 0.34
P(n = 5, k = 4) = 120 / [1 · 24] · 0.58³ · 0.42² = 0.24
P(n = 5, k = 5) = 120 / [1 · 120] · 0.58³ · 0.42² = 0.07

F(X) = Σ_k=3,4,5 P(n = 5, k = k) = 0.65

Таким образом, вероятность, что орёл победит равна 65%