k-tree

Дисперсионный анализ

В примерах в данной статье данные генерятся при каждой загрузке страницы. Если Вы хотите посмотреть пример с другими значениями - обновите страницу .

ANOVA

ANOVA - это акроним от ANalysis Of VAriance (дисперсионный анализ). Дисперсионный анализ был введён Фишером - английским учёным, сделавшим огромный вклад в развитие науки. ANOVA в статистике - это мощный инструмент для определения влияния различных групп наблюдений между собой.

Пример

Предположим, Вы хотите эмпирическим методом провести исследование бензина на качество, для этого вы заправляете бак на одной заправке и проезжаете n километров, повторяете такой эксперимент, скажем, пять раз, затем проводите такой же эксперимент, только на другой заправке. У Вас два набора данных - заправка A и заправка B. Разумеется, цифры разбегаются, но всё же есть некоторая зависимость, так вот, что бы определить, влияет ли заправка на расход бензина (или данные не связаны между собой) Вы используете дисперсионный анализ.

Дисперсионный анализ позволяет определить какой из факторов влияет больше, внутригрупповой или межгрупповой. В примере выше Вы сможете определить, насколько влияет на расход бензина выбор заправки. В этом суть дисперсионного анализа: узнать, является ли выбранный фактор значимым для выбранных наблюдений.

В некотором смысле, дисперсионный анализ похож на регрессионный и корреляционный анализы, т.к. позволяет определить влияние переменных друг на друга.

Анализ

В теории, для анализа дисперсии выстраивается простая модель, схожая с изучаемой в анализе временых рядов.

Модель

Модель дисперсионного анализа включает в себя среднее значение, эффект эксперимента и случайную ошибку:

y = μ + τ + ε
τ - эффект эксперимента, ε - случайная ошибка

Однофакторный

Однофакторный дисперсионный анализ рассматривает влияние одного критерия, делается это так: мы проводим два эксперимента, в одном из них включаем дополнительный фактор и анализируем, внёс ли этот фактор изменения. В качестве исходных данных рассмотрим результаты ряда экспериментов:

NE1E2E3E4
147348259
2425513052
344378034
430558653
538547543
μi40.24790.648.2
μ = (40.2 + 47 + 90.6 + 48.2) / 4 = 56.5
Квадрат ошибок внутри групп (Square Sum within group):
SSw = ΣiΣj(yij - μi)2 = 3004.8
Квадрат ошибок между группами (Square Sum between group):
SSb = Σii - μ)2 = 1587.64
Учитывая степени свободы, ожидаемое среднее:
MSw = SSw / a(n-1) = 200.32
MSb = SSb / a-1 = 396.91
Значение Fкрит :
F0 = MSb/MSw = 1.981

Тест Фишера: если значение F0 окажется больше чем значение F λ,4,15, значит фактор оказывает влияние.

Для n = 20 и a = 5, Fλ,n-a,a-1 = Fλ,15,4 = 5,86
Поскольку F0 = 1.981 < 5.86, то принимаем, что введённый фактор не оказал влияния на результаты эксперимента.

Двухфакторный

При двухфакторном анализе выдвигаются три гипотезы на проверку:

  • Факторы А и В не оказывают влияния на результат
  • Фактор А не оказывает влияния на результат
  • Фактор B не оказывает влияния на результат

Для проведения двухфакторного анализа необходимо составить группы результатов: несколько измерений для всех значения каждого из факторов, т.е.:

A1A2
B1X1a1,b1...XNa1,b1X1a1,b2...XNa1,b2
B2X1a1,b2...XNa1,b2X1a1,b2...XNa1,b2

Далее подсчитывается среднее значение для каждого значения факторов, т.е. среднее для A1, среднее для В1 и т.д. Затем подсчитывается общее среднее для всех результатов. Зададимся количеством критериев: k = 2 (количество критериев А) и m = 2 (количество критериев В).

T = ΣΣΣxijk
Сумма элементов под влиянием фактора A:
TAi = Σxi·k
Сумма элементов под влиянием фактора B:
TBj = Σx·jk
Сумма элементов под влиянием фактора AB:
TAiBj = Σxij·
SST = Σx2ijk - T2/N
SSA = ΣT2Ai/n·m - T2/N
SSB = ΣT2Bj/n·k - T2/N
SSAB = ΣΣT2AiBj/n - SSA - SSB - T2/N
SSE = ΣΣΣx2ijk - ΣΣT2AiBj/n

SST = SSA + SSB + SSAB + SSE

MSE = SSE/(n-1)·m·k
MSA = SSA/k-1
MSB = SSB/m-1
MSAB = SSAB/(m-1)·(k-1)
Тест "Критерий A не оказывает влияние на результат", ν1 = k-1:
FA = MSA/MSE
Тест "Критерий B не оказывает влияние на результат", ν1 = m-1:
FB = MSB/MSE
Тест "Критерии A и B не оказывают влияние на результат", ν1 = (k-1)(m-1):
Fint = MSAB/MSE

Для каждого F, если F > F α,ν12, то гипотеза отвергается. ν2 = N-mk

Многофакторный

Многофакторный анализ аналогичен двухфакторному - проводятся те же операции, но критерии группируются и итеративно находится влияние каждого из факторов.

С повторными измерениями

Дисперсионный анализ с повторными измерениями озночает, что для каждого критерия производилось несколько замеров случайной величины для получения более точного результата (поскольку в ANOVA) используется внутригрупповая сумма квадратов.

Применение

Дисперсионный анализ применяют в самых различных отраслях науки и производства тогда, когда необходимо изучить зависимость критериев на различие средних значений, при этом сравнивается не среднее значение, а разброс результатов вокруг среднего значения, т.е. дисперсию.

Решение задач

В качестве примера приведём задачу из метрологии. На заводе размещены пять станков, на которых производят валы. Необходимо определить, влияет ли выбор станка или подготовка работника на результат производства. Для анализа производят замеры для каждого станка и работника, в результате получается таблица:

Оператор 1
М1 30.366 30.322 30.344 30.39 30.306 30.384 30.353 30.385 30.34 30.367
М2 30.387 30.321 30.38 30.334 30.346 30.395 30.347 30.346 30.377 30.371
М3 30.33 30.348 30.392 30.333 30.303 30.357 30.356 30.348 30.347 30.362
М4 30.16 30.169 30.202 30.287 30.155 30.228 30.245 30.194 30.16 30.154
М5 30.324 30.389 30.342 30.329 30.339 30.373 30.378 30.33 30.305 30.382
Оператор 2
М1 30.13 30.186 30 30.132 29.952 30.146 29.804 30.203 30.113 29.938
М2 30.221 30.185 30.08 30.168 30.125 30.007 30.201 30.297 30.218 30.084
М3 30.379 30.387 30.391 30.34 30.316 30.324 30.363 30.376 30.358 30.333
М4 30.344 30.331 30.308 30.309 30.357 30.334 30.348 30.33 30.379 30.307
М5 30.356 30.385 30.382 30.362 30.388 30.36 30.349 30.378 30.3 30.365

Воспользуемся методом двухфакторного анализа, фактор А - оператор, фактор В - станок. Рассчитаем суммы квадратов, для этого необходимо рассчитать значение среднего для каждой из групп:

TTA1TA2 TB1TB2TB3TB4TB5
3028.811 1516.0821512.729 604.161 605.19 607.043 605.301 607.116
SSA = 0.112
SSB = 0.329
SSAB = 0.626
SSE = 0.278

MSA = 0.112
MSB = 0.082
MSAB = 0.157
MSE = 0.07

FA = 1.6
FB = 1.171
FAB = 2.243

Критические значения для теста Фишера:
Fcrit A = F0.1, 1, 90 = 2.77
Fcrit B = F0.1, 4, 90 = 2.01
Fcrit AB = F0.1, 4, 90 = 2.01

Таблица результатов:

Влияние станка на результат Да 1.6 < 2.77
Влияние квалификации работника на результат Да 1.171 < 2.01
Взаимное влияние квалификации работника и выбора станка на результат Нет 2.243 > 2.01

В excel/Open Calc

Для решения дисперсионного анализа в электронной таблице Вам потребуются следующие формулы:

sumproduct Сумма произведений, используется для нахождения суммы квадратов
finv Обратное значение распределения F - критерий Фишера

Таблица для скачивания в форматах ods и xls.

Скачать статью в формате PDF.

Вам понравилась статья? Да / Нет

Поиск по сайту:

Порекомендуйте статью своим друзьям:




Анализ данных

1. Нормальное распределение

Любой процесс можно описать нормальным распределением

2. Распределение Пуассона

Второе по популярности распределение

3. Закон распределения

Как структурировать данные полученные в ходе статистического исследования

4. Параметры дискретного закона распределения

Критерии для сравнения распределений

5. Статистическая гипотеза

Статистическая гипотеза. Проверка утверждений. Общие вопросы

6. Дисперсионный анализ

ANOVA

Прогнозирование




© 2015-2018 - K-Tree.ru • Онлайн учебник
Копия материалов, размещённых на данном сайте, допускается только по письменному разрешению владельцев сайта.
По любым вопросам Вы можете связаться по почте info@k-tree.ru