Общее уравнение гармонических колебаний имеет вид:
x(t) = A cos (?t + ?)
Где A – максимальная амплитуда, ? – частота колебаний, ? – начальная фаза
Гармонические колебания периодичны, т. е.
x ( t + T ) = x (t)
где T – период колебаний:
T = 2?/?
Частота колебаний f — величина обратная периоду:
f = 1/T = ?/2?
Скорость и ускорение изменения положения — производные по времени:
v(t) = x'(t) = -A ? sin ( ?t + ? )
a(t) = x''(t) = -A ?2cos ( ?t + ? ) = - ?2x(t)
Откуда
d2x/dt2 + ?2x = 0
В идеальной системе, при отсутствии сил трения и внешних сил:
F = kx
ma = kx
md2x/dt2 = -kx
md2x/dt2 + kx/m= 0
Откуда, с учётом уравнения d2x/dt2 + ?2x = 0:
?2 = k/m