Если мы наблюдаем такую картину, что некоторый объект совершает движения из стороны в сторону и при этом скорость отклонения и расстояние отклонения неизменны, то для такого движения есть термин гармонические колебания.
Гармонические колебания, это колебания, которые симметричны относительно некоторого центра и постоянны во времени. Гармонические колебания выглядят так:
Гармонические колебания
Гармонические колебания - это теоретическая модель, в жизни не встречается, но, приняв на себя всю ответственность за это допущение, можно рассчитать реальные, более сложные процессы с допустимым приближением.
Для описания увиденного выше графика выведем формулу:
В первую очередь, для математического описания таких колебаний подходит синусоида, т.к. синусоида имеет точно такой же вид, её формула:
y = a + bsin(cx + d)
Так как график удобно просматривать исходя из нуля, то преобразуем синусоиду в косинусоиду (то же самое +π/2) и избавимся от сдвига a, т.к. нас интересует периодичность, а не то, откуда она началась:
y = bcos(cx + d)
Что касается расстояния от оси до точки, то обычно по оси y пишут y, но в данном случае воспользуемся x, т.к. подразумевается, что движение происходит в одной плоскости и первая плоскость которая приходит на ум - это x (в целом, наименование не имеет значения, но кто-то один раз заморочился...). На оси x отложены координаты времени, т.е. t, поэтому расстояние запишем x и график назовём x(t).
x(t) = bcos(ct + d)
Такие колебания находятся в пределах некоторого максимально возможного значения, такое значение называется амплитуда, для амплитуды используется символ A:
x(t) = Acos(ct + d)
Константы c и d - это параметры синусоиды, а именно - c показывает как быстро происходит смена направления, d показывает, где начинаются колебания. Общепринятые обозначения: ω – частота циклических колебаний, φ – начальная фаза
Формула гармонических колебаний
Общепринятая формула выглядит так:
x(t) = A cos (ωt + φ) (1)
Уравнения колебаний
Период T связан с частотой колебаний ω, т.к. ω выражается в радианах, то период выражается через частоту колебаний через коэффициент π:
T = 2π/ω
ω = 2π/T
Частота колебаний f — величина обратная периоду:
f = 1/T = ω/2π
Скорость и ускорение изменения положения — производные по времени:
v(t) = x'(t) = -A ω sin ( ωt + φ )
a(t) = x''(t) = -A ω2cos ( ωt + φ )
Исходя из уравнения (1): a(t) = - ω2x(t)
Откуда
d2x/dt2 + ω2x = 0
Т.к. гармонические колебания периодичны, за время T маятник сделает полный цикл движения, до конца в одну сторону и назад, следовательно, окажется в той же точке x(t)
x ( t + T ) = x (t)
Пружинный маятник
Мы рассмотрели кинематику колебательных движений, теперь перенесём её на динамику движения тела.
Исходя из того, что пружина при растяжении и сжатии оказывает сопротивление, следует, что существует сила, сопротивляющаяся движению. Для пружины сила сопротивления движению рассчитывается по формуле:
F = -kx
Где k - это коэффициент жёсткости пружины, x - перемещение относительно точки равновесия.
Исходя из формул:
F = -kx Уравнение жёсткости пружины
F = ma Второй закон Ньютона
a = d2x/dt2
Выведем:
m d2x/dt2 = -kx → m d2x/dt2 + kx/m = 0
С учётом уравнения d2x/dt2 + ω2x = 0:
ω2 = k/m
Уравнение колебаний пружинного маятника
Исходя из вышевыведенных формул, уравнение гармонических колебаний пружинного маятника записывается так:
x(t) = A cos(√k/m · t + φ)
