k-tree

Уравнения движения в цилиндрических координатах

Если материальная точка P движется по кривой траектории, то положение точки может быть определено тремя цилиндрическими координатами: r, θ, z. Тогда положение точки, её скорость и ускорение могут быть записаны в единицах цилиндрических координат следующим образом:

rp = rur + zuz
v = drp/dt = dr/dt ur+ r dθ/dt uθ + dz/dt uz
a = d2rp/dt2 = (d2r/dt2rdθ2/dt)ur +(rd2θ/dt2 +2dr/dt dθ/dt)uθ + d2z/dt2uz

Если разложить силу, действующую на материальную точку, вдоль единичных векторов цилиндрической системы координат, то уравнение движения можно записать в виде:

F = ma
Fr ur + Fθ uθ+ Fr ur = marur+ maθuθ + mazuz

Для выполнения равенства, соответствующие компоненты ur,uθ,uz левой части уравнения должны быть равны соответствующим компонентам в правой части уравнения. Таким образом, уравнение движения можно записать с помощью следующих скалярных компонентов:

Fr = mar
Fθ = maθ
Fz = maz

Если движение происходит в двумерных координатах r-θ, то для описания движения необходимы только два первых уравнения.

Центростремительное и нормальное ускорение

Обычно задача заключается в определении компонентов результирующей силы: Fθ,Fr, Fz , которые приводят частицу в движение и задают ей определённое ускорение.

Пример

Сила P создаёт движение по траектории r = f(θ). Нормальная сила N всегда перпендикулярна касательной траектории в данной точке, в то время, как сила трения F всегда направлена вдоль касательной и против направления движения. Направления сил N и F могут быть определены относительно r-координаты используя угол θ, который определён между прямой-направлением радиуса и касательной в заданной точке.

Угол θ определяется смещением точки на расстояние ds вдоль траектории, радиальное перемещение составляет dr и перемещение в направлении касательной r dθ. Так как эти две составляющиевзаимно перпендикулярны, угол θ может быть определён из равенства:

tg θ = r dθ/ dr 

или

tg θ = r / dr/dθ

Если угол θ положителен, то он измеряется от радиальной линии против направления хода часов или в положительном направлении угла θ. Если угол отрицательный, то он измеряется в обратном направлении (по часовой стрелке).

Например, кардиоида, описанная уравнением

r = a(1 + cos θ) 

dr / dθ = - a sin θ

когда θ=30°, tg = a(1+ cos 30°)/(-a sen 30°) = -3.732, или θ = -75°, измеренный против направления хода часов, как представлено на изображении.

Алгоритм решения задач

Цилиндрические координаты удобно использовать для анализа систем, в которых траектории движения заданы относительно радиальной линии, или могут быть удобным образом выражены в цилиндрических координатах. Определив координаты точки, уравнения движения могут быть применены для выражения силы в виде компонентов ускорения.

  1. Установить инерциальную систему координат r, θ, z и изобразить диаграмму свободного тела
  2. Положить ускорения ar, aθ, az направлены вдоль положительного направления осей r, θ, z, если направления неизвестны
  3. Определить все неизвестные величины в задачи
  4. Применить уравнения движения

  5. Определить r и производные по времени dr/dt, d2r/dt2, dθ/dt, d2θ/dt2, d2z/dz2, затем применить уравнения ускорения
    • ar= d2r/dt2- r dθ2/dt
    • aθ = r d2θ/dt2+ 2 dr/dt dθ/dt
    • az= d2z/dt2
  6. Если какой-либо из компонентов ускорения рассчитан со знаком минус,то этот компонент ускорения направлен вдоль отрицательного направления оси координат

Вам понравилась статья? Да / Нет

Просмотров: 722