k-tree
Электронный учебник

Уравнения движения в цилиндрических координатах

Если вы не знакомы с цилиндрической системой координат - изучите статью системы координат

Радиус-вектор

Для описания движения в цилиндрических координатах мы используем три параметра: r, θ и z. Положение точки в цилиндрических координатах будет записано следующим образом:

rp = r·ur + θ·uθ + z·uz (1) радиус-вектор, ui - единичные векторы осей

Здесь, положение точки выражено в координатах цилиндрической системы координат, это векторы ur, uθ и uz. Вектор ur всегда направлен в направлении от центра к точке, вектор uθ всегда перпендикулярен к вектору ur и направлен по касательной к окружности с радиусом r, направление вектора uz не зависит от положения точки.

Скорость

Для получения вектора скорости, нам необходимо продифференцировать радиус-вектор по времени:

v = drp/dt (2.1)
v = dr·ur/dt + dθ·uθ/dt + dz·uz/dt (2.2)

Так как векторы ur и uθ меняются при перемещении материальной точки, их производные по времени не будут равны нулю, поэтому мы должны найти их производные, для чего переведём их в декартову систему координат:

ur = cosθux + sinθuy (3.1)
uθ = -sinθux + cosθuy (3.2)
uz = uz (3.3)

И продифференцируем по времени:

dur/dt = dcosθux/dt + dsinθuy/dt = -θ'sinθux + θ'cosθuy = θ'uθ с учётом 3.2 duθ/dt = -dsinθux/dt + dcosθuy/dt = -θ'cosθux - θ'sinθuy = -θ'ur с учётом 3.1 duz/dt = 0

Переводя радиус-вектор в декартову систему координат, получим:

r = r·ur + z·uz

Подставляя полученные результаты дифференцирования, получаем формулу вектора скорости для цилиндрических координат:

v = dr/dt = d(r·ur + z·uz)/dt =
    r'·ur + r·u'r + z'·uz + z·u'z =
    r'·ur + rθ'·uθ + z'·uz вектор скорости

Принимая коэффициенты единичных векторов осей цилиндрических координат как соответствующие скорости, получаем:

vr = r'
vθ = r·θ'
vz = z'

Ускорение

Для получения формулы ускорения, дифференцируем скорость по времени:

a = d2rp/dt2 = dv/dt = d(r'·ur + rθ'·uθ + z'·uz)/dt
d(r'·ur)/dt = (r'' - r'·θ')·ur
d(θ'·uθ)/dt = (θ'' + r'·θ')·uθ
d(z'uz)/dt = z''uz компоненты вектора ускорения

Таким образом, коэффициенты координат:

ar = r'' - rθ'2
aθ = 2·r'θ' + rθ''
az = z''

Если движение происходит в двумерных координатах r-θ, то для описания движения необходимы только два первых уравнения.

Центростремительное и нормальное ускорение

Угол θ определяется смещением точки на расстояние ds вдоль траектории, радиальное перемещение составляет dr и перемещение в направлении касательной r dθ. Так как эти две составляющиевзаимно перпендикулярны, угол θ может быть определён из равенства:

tg θ = r dθ/ dr 

или

tg θ = r / dr/dθ

Если угол θ положителен, то он измеряется от радиальной линии против направления хода часов или в положительном направлении угла θ. Если угол отрицательный, то он измеряется в обратном направлении (по часовой стрелке).

Например, кардиоида, описанная уравнением

r = a(1 + cos θ) 

dr / dθ = - a sin θ

когда θ=30°, tg = a(1+ cos 30°)/(-a sen 30°) = -3.732, или θ = -75°, измеренный против направления хода часов.

Алгоритм решения задач

Цилиндрические координаты удобно использовать для анализа систем, в которых траектории движения заданы относительно радиальной линии, или могут быть удобным образом выражены в цилиндрических координатах. Определив координаты точки, уравнения движения могут быть применены для выражения силы в виде компонентов ускорения.

  1. Установить инерциальную систему координат r, θ, z и изобразить диаграмму свободного тела
  2. Положить ускорения ar, aθ, az направлены вдоль положительного направления осей r, θ, z, если направления неизвестны
  3. Определить все неизвестные величины в задачи
  4. Применить уравнения движения

  5. Определить r и производные по времени dr/dt, d2r/dt2, dθ/dt, d2θ/dt2, d2z/dz2, затем применить уравнения ускорения
    • ar= d2r/dt2- r dθ2/dt
    • aθ = r d2θ/dt2+ 2 dr/dt dθ/dt
    • az= d2z/dt2
  6. Если какой-либо из компонентов ускорения рассчитан со знаком минус,то этот компонент ускорения направлен вдоль отрицательного направления оси координат

Вам понравилась статья? /

Просмотров: 3 049

Рейтинг: 5 (2 голоса)