Уравнения движения в цилиндрических координатах
Если материальная точка P движется по кривой траектории, то положение точки может быть определено тремя цилиндрическими координатами: r, θ, z. Тогда положение точки, её скорость и ускорение могут быть записаны в единицах цилиндрических координат следующим образом:
rp = rur + zuz
v = drp/dt = dr/dt ur+ r dθ/dt uθ + dz/dt uz
a = d2rp/dt2 = (d2r/dt2 – rdθ2/dt)ur +(rd2θ/dt2 +2dr/dt dθ/dt)uθ + d2z/dt2uz
Если разложить силу, действующую на материальную точку, вдоль единичных векторов цилиндрической системы координат, то уравнение движения можно записать в виде:
F = ma
Fr ur + Fθ uθ+ Fr ur = marur+ maθuθ + mazuz
Для выполнения равенства, соответствующие компоненты ur,uθ,uz левой части уравнения должны быть равны соответствующим компонентам в правой части уравнения. Таким образом, уравнение движения можно записать с помощью следующих скалярных компонентов:
Fr = mar
Fθ = maθ
Fz = maz
Если движение происходит в двумерных координатах r-θ, то для описания движения необходимы только два первых уравнения.
Центростремительное и нормальное ускорение
Обычно задача заключается в определении компонентов результирующей силы: Fθ,Fr, Fz , которые приводят частицу в движение и задают ей определённое ускорение.
Пример
Сила P создаёт движение по траектории r = f(θ). Нормальная сила N всегда перпендикулярна касательной траектории в данной точке, в то время, как сила трения F всегда направлена вдоль касательной и против направления движения. Направления сил N и F могут быть определены относительно r-координаты используя угол θ, который определён между прямой-направлением радиуса и касательной в заданной точке.
Угол θ определяется смещением точки на расстояние ds вдоль траектории, радиальное перемещение составляет dr и перемещение в направлении касательной r dθ. Так как эти две составляющиевзаимно перпендикулярны, угол θ может быть определён из равенства:
tg θ = r dθ/ dr
или
tg θ = r / dr/dθ
Если угол θ положителен, то он измеряется от радиальной линии против направления хода часов или в положительном направлении угла θ. Если угол отрицательный, то он измеряется в обратном направлении (по часовой стрелке).
Например, кардиоида, описанная уравнением
r = a(1 + cos θ)
dr / dθ = - a sin θ
когда θ=30°, tg = a(1+ cos 30°)/(-a sen 30°) = -3.732, или θ = -75°, измеренный против направления хода часов, как представлено на изображении.
Алгоритм решения задач
Цилиндрические координаты удобно использовать для анализа систем, в которых траектории движения заданы относительно радиальной линии, или могут быть удобным образом выражены в цилиндрических координатах. Определив координаты точки, уравнения движения могут быть применены для выражения силы в виде компонентов ускорения.
- Установить инерциальную систему координат r, θ, z и изобразить диаграмму свободного тела
- Положить ускорения ar, aθ, az направлены вдоль положительного направления осей r, θ, z, если направления неизвестны
- Определить все неизвестные величины в задачи
Применить уравнения движения
-
Определить r и производные по времени dr/dt, d2r/dt2, dθ/dt,
d2θ/dt2, d2z/dz2, затем применить уравнения ускорения
- ar= d2r/dt2- r dθ2/dt
- aθ = r d2θ/dt2+ 2 dr/dt dθ/dt
- az= d2z/dt2
- Если какой-либо из компонентов ускорения рассчитан со знаком минус,то этот компонент ускорения направлен вдоль отрицательного направления оси координат