Уравнения движения в цилиндрических координатах

Если материальная точка P движется по кривой траектории, то положение точки может быть определено тремя цилиндрическими координатами: r, θ, z. Тогда положение точки, её скорость и ускорение могут быть записаны в единицах цилиндрических координат следующим образом:

r_p = ru_r + zu_z

v = dr_p/dt = dr/dt u_r+ r dθ/dt u_θ + dz/dt u_z

a = d²r_p/dt² = (d²r/dt² – rdθ²/dt)u_r +(rd²θ/dt² +²dr/dt dθ/dt)u_θ + d²z/dt²u_z

Если разложить силу, действующую на материальную точку, вдоль единичных векторов цилиндрической системы координат, то уравнение движения можно записать в виде:

F = ma

F_r u_r + F_θ u_θ+ F_r u_r = ma_ru_r+ ma_θu_θ + ma_zu_z

Для выполнения равенства, соответствующие компоненты u_r,u_θ,u_z левой части уравнения должны быть равны соответствующим компонентам в правой части уравнения. Таким образом, уравнение движения можно записать с помощью следующих скалярных компонентов:

F_r = ma_r

F_θ = ma_θ

F_z = ma_z

Если движение происходит в двумерных координатах r-θ, то для описания движения необходимы только два первых уравнения.

Центростремительное и нормальное ускорение

Обычно задача заключается в определении компонентов результирующей силы: F_θ,F_r, F_z , которые приводят частицу в движение и задают ей определённое ускорение.

Пример

Сила P создаёт движение по траектории r = f(θ). Нормальная сила N всегда перпендикулярна касательной траектории в данной точке, в то время, как сила трения F всегда направлена вдоль касательной и против направления движения. Направления сил N и F могут быть определены относительно r-координаты используя угол θ, который определён между прямой-направлением радиуса и касательной в заданной точке.

Угол θ определяется смещением точки на расстояние ds вдоль траектории, радиальное перемещение составляет dr и перемещение в направлении касательной r dθ. Так как эти две составляющиевзаимно перпендикулярны, угол θ может быть определён из равенства:

tg θ = r dθ/ dr 

или

tg θ = r / dr/dθ

Если угол θ положителен, то он измеряется от радиальной линии против направления хода часов или в положительном направлении угла θ. Если угол отрицательный, то он измеряется в обратном направлении (по часовой стрелке).

Например, кардиоида, описанная уравнением

r = a(1 + cos θ) 

dr / dθ = - a sin θ

когда θ=30°, tg = a(1+ cos 30°)/(-a sen 30°) = -3.73², или θ = -75°, измеренный против направления хода часов, как представлено на изображении.

Алгоритм решения задач

Цилиндрические координаты удобно использовать для анализа систем, в которых траектории движения заданы относительно радиальной линии, или могут быть удобным образом выражены в цилиндрических координатах. Определив координаты точки, уравнения движения могут быть применены для выражения силы в виде компонентов ускорения.

1. Установить инерциальную систему координат r, θ, z и изобразить диаграмму свободного тела
2. Положить ускорения a_r, a_θ, a_z направлены вдоль положительного направления осей r, θ, z, если направления неизвестны
3. Определить все неизвестные величины в задачи

4. Применить уравнения движения

5. Определить r и производные по времени dr/dt, d²r/dt², dθ/dt, d²θ/dt², d²z/dz², затем применить уравнения ускорения
   • a_r= d²r/dt²- r dθ²/dt
   • a_θ = r d²θ/dt²+ 2 dr/dt dθ/dt
   • a_z= d²z/dt²
6. Если какой-либо из компонентов ускорения рассчитан со знаком минус,то этот компонент ускорения направлен вдоль отрицательного направления оси координат