Базовые понятия кинематики
Для применения теории кинематики необходимо понимать базовые определения. Ниже будут описаны основные термины, используемые в кинематике.
Материальная точка
Материальная точка (М.Т.) - идеализированный объект, объём которого считается нулевым в условиях рассматриваемой задачи, например:
- Машина едет из Москвы в Санкт-Петербург — обозначаем машину материальной точкой, поскольку её размеры не имеют значения для решения задач кинематики
- Луна вращается вокруг земли — обозначим луну и землю материальными точками, поскольку их размеры не имеют значения для решения задач кинематики
Под материальной точкой можно воспринимать любой объект в рамках решения задачи по кинематике.
Движение
Если система координат, в которой рассматривается положение м.т., действительно неподвижна, то такое движение м.т. называется абсолютным. Когда система координат подвижна, то движение м.т. называется относительным.
В реальности, в мире не существует неподвижных точек, следовательно, любое движение относительно, поэтому при описании движения всегда необходимо указывать систему координат в которой ведётся расчёт.
Почему так важно указывать точку отсчёта? Представьте, что к вам на встречу идёт кот: если Вы выберете в качестве точки отсчёта кота — Вы идёте к нему навстречу, в то время, как кот стоит на месте.
Точку отсчёта можно выбирать абсолютно любой, но от выбранной точки отсчёта зависит насколько сложными будут уравнения движения и решение задачи.
Радиус-вектор
Поскольку мы имеем установленную систему координат, положение материальной точки в пространстве может быть однозначно описано вектором r. Радиус-вектор - это вектор, проложенный из начала координат. Для того, что бы описать движение материальной точки, необходимо установить связь между положением материальной точки и временем, за которое положение изменилось. Если мы говорим о скорости, то нас интересует зависимость положения от времени, а значит это будет функция. Математически, положение точки в любой момент времени можно описать функцией радиус-вектора:
r = r (t)
Если вести расчёты общим уравнением, то нам придётся работать с комплексными уравнениями, включающими большое количество переменных в высоких степенях, что бы упростить расчёты, мы можем разложить радиус-вектор на компоненты, таким образом, мы получим параметрические уравнения, зависящие от времени. Суть уравнений - проекции радиус-вектора на координатные оси, в зависимости от системы координат мы будем иметь различное количество уравнений:
Для R1:
ri = ri(t)
Для R2:
ri = ri(t)
rj = rj(t)
Для R3:
ri = ri(t)
rj = rj(t)
rk = rk(t)
Количество уравнений не обязательно обозначает привычные нам одно-, двух-, трёх-остные декартовы системы координат, это могут быть цилиндрические, сферические и другие системы координат.
Траектория
Траектория — кривая, представляющая множество точек по которой движется материальная точка. Любая геометрическая фигура может являться траекторией.
Аналитическое выражение
Аналитически, геометрическое место точек (Г.М.Т.) траектории в трёхмерном пространстве может быть задано пересечением двух плоскостей, уравнения плоскостей, соответственно, могут быть выражены в параметрических зависимостях:
f1 (i, j, k) = 0 плоскость 1
f2 (i, j, k) = 0 плоскость 2
f1 = f2 уравнение траектории
Траектория обозначается буквой s. Рассматривая движения, мы задаём положение материальной точки на траектории через зависимость от времени:
s = s (t)
Данная функция траектории позволяет нам найти длину пройденной траектории в любой момент времени в заданном направлении. Формула длины кривой выбирается исходя из выбранной системы координат и решаемой задачи. В общем случае, задача решается через интеграл:
l = t0t1∫ s(t) dt
Перемещение
Рассмотрим перемещение материальной точки из положения r0 в положение r1 за время Δt, обозначим за Δi, Δj, Δk соответствующие перемещения по координатам i, j k, тогда изменение радиус-вектора будет:
Δr = Δi•i + Δj•j + Δk•k
Учитывая, что r1 = r0 + Δr, новые координаты будут соответственно:
i1 = i0 + Δi
j1 = j0 + Δj
k1 = k0 + Δk
Таким образом, вектор перемещения можно выразить через начальные и конечные координаты движения, либо через начальные координаты и перемещения по осям системы отсчёта.
Скорость
Скорость - это вектор, который показывает направление перемещения исследуемой точки, величина данного вектора равна производной радиус-вектора по времени.
∨ = dr/dt
Вектор средней скорости
Вектор средней скорости определяется как отношение вектора перемещения ко времени
v = Δr / Δt
Вектор мгновенной скорости
Используя знания о средней скорости, мгновенную скорость можно получить когда временной интервал стремится к нулю:
v = lim (Δt → 0)(Δr/Δt) = dr/dt = r'
Единичный вектор в направлении вектора мгновенной скорости:
Δ = lim (Δt → 0)(Δr/Δs)
Тогда вектор мгновенной скорости выражается так:
v = v · dr = ds/dt = r'
Ускорение
Изменение вектора скорости в течение бесконечно малого интервала времени Δt называется мгновенным вектором ускорения, или просто вектором ускорения:
a = lim (Δt → 0)(Δv/Δt) = dv/dt = v' = d/dt · dr/dt = d2r/dt2 = r''
Вектор среднего ускорения
Вектор среднего ускорения это отношение изменения вектора скорости ко времени, в течение которого произошло изменение:
a = [v(t + Δt) – v(t)]/Δt = Δv/Δt
в отличие от вектора скорости, который всегда направлен по касательной к траектории, вектор ускорения может иметь любое направление.