Базовые понятия кинематики

Для применения теории кинематики необходимо понимать базовые определения. Ниже будут описаны основные термины, используемые в кинематике.

Материальная точка

Материальная точка (М.Т.) - идеализированный объект, объём которого считается нулевым в условиях рассматриваемой задачи, например:

1. Машина едет из Москвы в Санкт-Петербург — обозначаем машину материальной точкой, поскольку её размеры не имеют значения для решения задач кинематики
2. Луна вращается вокруг земли — обозначим луну и землю материальными точками, поскольку их размеры не имеют значения для решения задач кинематики

Под материальной точкой можно воспринимать любой объект в рамках решения задачи по кинематике.

Движение

Если система координат, в которой рассматривается положение м.т., действительно неподвижна, то такое движение м.т. называется абсолютным. Когда система координат подвижна, то движение м.т. называется относительным.

В реальности, в мире не существует неподвижных точек, следовательно, любое движение относительно, поэтому при описании движения всегда необходимо указывать систему координат в которой ведётся расчёт.

Почему так важно указывать точку отсчёта? Представьте, что к вам на встречу идёт кот: если Вы выберете в качестве точки отсчёта кота — Вы идёте к нему навстречу, в то время, как кот стоит на месте.

Точку отсчёта можно выбирать абсолютно любой, но от выбранной точки отсчёта зависит насколько сложными будут уравнения движения и решение задачи.

Радиус-вектор

Поскольку мы имеем установленную систему координат, положение материальной точки в пространстве может быть однозначно описано вектором r. Радиус-вектор - это вектор, проложенный из начала координат. Для того, что бы описать движение материальной точки, необходимо установить связь между положением материальной точки и временем, за которое положение изменилось. Если мы говорим о скорости, то нас интересует зависимость положения от времени, а значит это будет функция. Математически, положение точки в любой момент времени можно описать функцией радиус-вектора:

r = r (t)

Если вести расчёты общим уравнением, то нам придётся работать с комплексными уравнениями, включающими большое количество переменных в высоких степенях, что бы упростить расчёты, мы можем разложить радиус-вектор на компоненты, таким образом, мы получим параметрические уравнения, зависящие от времени. Суть уравнений - проекции радиус-вектора на координатные оси, в зависимости от системы координат мы будем иметь различное количество уравнений:

Для R¹:
r_i = r_i(t)

Для R²:
r_i = r_i(t)
r_j = r_j(t)

Для R³:
r_i = r_i(t)
r_j = r_j(t)
r_k = r_k(t)

Количество уравнений не обязательно обозначает привычные нам одно-, двух-, трёх-остные декартовы системы координат, это могут быть цилиндрические, сферические и другие системы координат.

Траектория

Траектория — кривая, представляющая множество точек по которой движется материальная точка. Любая геометрическая фигура может являться траекторией.

Аналитическое выражение

Аналитически, геометрическое место точек (Г.М.Т.) траектории в трёхмерном пространстве может быть задано пересечением двух плоскостей, уравнения плоскостей, соответственно, могут быть выражены в параметрических зависимостях:

f₁ (i, j, k) = 0 плоскость 1
f₂ (i, j, k) = 0 плоскость 2
f₁ = f₂ уравнение траектории

Траектория обозначается буквой s. Рассматривая движения, мы задаём положение материальной точки на траектории через зависимость от времени:

s = s (t)

Данная функция траектории позволяет нам найти длину пройденной траектории в любой момент времени в заданном направлении. Формула длины кривой выбирается исходя из выбранной системы координат и решаемой задачи. В общем случае, задача решается через интеграл:

l = _t0^t1∫ s(t) dt

Перемещение

Рассмотрим перемещение материальной точки из положения r₀ в положение r₁ за время Δt, обозначим за Δi, Δj, Δk соответствующие перемещения по координатам i, j k, тогда изменение радиус-вектора будет:

Δr = Δi•i + Δj•j + Δk•k

Учитывая, что r₁ = r₀ + Δr, новые координаты будут соответственно:

i₁ = i₀ + Δi
j₁ = j₀ + Δj
k₁ = k₀ + Δk

Таким образом, вектор перемещения можно выразить через начальные и конечные координаты движения, либо через начальные координаты и перемещения по осям системы отсчёта.

Скорость

Скорость - это вектор, который показывает направление перемещения исследуемой точки, величина данного вектора равна производной радиус-вектора по времени.

∨ = dr/dt

Вектор средней скорости

Вектор средней скорости определяется как отношение вектора перемещения ко времени

v = Δr / Δt

Вектор мгновенной скорости

Используя знания о средней скорости, мгновенную скорость можно получить когда временной интервал стремится к нулю:

v = lim (Δt → 0)(Δr/Δt) = dr/dt = r'

Единичный вектор в направлении вектора мгновенной скорости:

Δ = lim (Δt → 0)(Δr/Δs)

Тогда вектор мгновенной скорости выражается так:

v = v · dr = ds/dt = r'

Ускорение

Изменение вектора скорости в течение бесконечно малого интервала времени Δt называется мгновенным вектором ускорения, или просто вектором ускорения:

a = lim (Δt → 0)(Δv/Δt) = dv/dt = v' = d/dt · dr/dt = d²r/dt² = r''

Вектор среднего ускорения

Вектор среднего ускорения это отношение изменения вектора скорости ко времени, в течение которого произошло изменение:

a = [v(t + Δt) – v(t)]/Δt = Δv/Δt

в отличие от вектора скорости, который всегда направлен по касательной к траектории, вектор ускорения может иметь любое направление.