Уравнения движения в цилиндрических координатах

Если вы не знакомы с цилиндрической системой координат - изучите статью системы координат

Радиус-вектор

Для описания движения в цилиндрических координатах мы используем три параметра: r, θ и z. Положение точки в цилиндрических координатах будет записано следующим образом:

r_p = r·u_r + θ·u_θ + z·u_z (1) радиус-вектор, u_i - единичные векторы осей

Здесь, положение точки выражено в координатах цилиндрической системы координат, это векторы u_r, u_θ и u_z. Вектор u_r всегда направлен в направлении от центра к точке, вектор u_θ всегда перпендикулярен к вектору u_r и направлен по касательной к окружности с радиусом r, направление вектора u_z не зависит от положения точки.

Скорость

Для получения вектора скорости, нам необходимо продифференцировать радиус-вектор по времени:

v = dr_p/dt (2.1)
v = dr·u_r/dt + dθ·u_θ/dt + dz·u_z/dt (2.2)

Так как векторы u_r и u_θ меняются при перемещении материальной точки, их производные по времени не будут равны нулю, поэтому мы должны найти их производные, для чего переведём их в декартову систему координат:

u_r = cosθu_x + sinθu_y (3.1)
u_θ = -sinθu_x + cosθu_y (3.2)
u_z = u_z (3.3)

И продифференцируем по времени:

du_r/dt = dcosθu_x/dt + dsinθu_y/dt = -θ'sinθu_x + θ'cosθu_y = θ'u_θ с учётом 3.2 du_θ/dt = -dsinθu_x/dt + dcosθu_y/dt = -θ'cosθu_x - θ'sinθu_y = -θ'u_r с учётом 3.1 du_z/dt = 0

Переводя радиус-вектор в декартову систему координат, получим:

r = r·u_r + z·u_z

Подставляя полученные результаты дифференцирования, получаем формулу вектора скорости для цилиндрических координат:

v = dr/dt = d(r·u_r + z·u_z)/dt =
    r'·u_r + r·u'_r + z'·u_z + z·u'_z =
    r'·u_r + rθ'·u_θ + z'·u_z вектор скорости

Принимая коэффициенты единичных векторов осей цилиндрических координат как соответствующие скорости, получаем:

v_r = r'
v_θ = r·θ'
v_z = z'

Ускорение

Для получения формулы ускорения, дифференцируем скорость по времени:

a = d²r_p/dt² = dv/dt = d(r'·u_r + rθ'·u_θ + z'·u_z)/dt
d(r'·u_r)/dt = (r'' - r'·θ')·u_r
d(θ'·u_θ)/dt = (θ'' + r'·θ')·u_θ
d(z'u_z)/dt = z''u_z компоненты вектора ускорения

Таким образом, коэффициенты координат:

a_r = r'' - rθ'²
a_θ = 2·r'θ' + rθ''
a_z = z''

Если движение происходит в двумерных координатах r-θ, то для описания движения необходимы только два первых уравнения.

Центростремительное и нормальное ускорение

Угол θ определяется смещением точки на расстояние ds вдоль траектории, радиальное перемещение составляет dr и перемещение в направлении касательной r dθ. Так как эти две составляющиевзаимно перпендикулярны, угол θ может быть определён из равенства:

tg θ = r dθ/ dr 

или

tg θ = r / dr/dθ

Если угол θ положителен, то он измеряется от радиальной линии против направления хода часов или в положительном направлении угла θ. Если угол отрицательный, то он измеряется в обратном направлении (по часовой стрелке).

Например, кардиоида, описанная уравнением

r = a(1 + cos θ) 

dr / dθ = - a sin θ

когда θ=30°, tg = a(1+ cos 30°)/(-a sen 30°) = -3.73², или θ = -75°, измеренный против направления хода часов.

Алгоритм решения задач

Цилиндрические координаты удобно использовать для анализа систем, в которых траектории движения заданы относительно радиальной линии, или могут быть удобным образом выражены в цилиндрических координатах. Определив координаты точки, уравнения движения могут быть применены для выражения силы в виде компонентов ускорения.

1. Установить инерциальную систему координат r, θ, z и изобразить диаграмму свободного тела
2. Положить ускорения a_r, a_θ, a_z направлены вдоль положительного направления осей r, θ, z, если направления неизвестны
3. Определить все неизвестные величины в задачи

4. Применить уравнения движения

5. Определить r и производные по времени dr/dt, d²r/dt², dθ/dt, d²θ/dt², d²z/dz², затем применить уравнения ускорения
   • a_r= d²r/dt²- r dθ²/dt
   • a_θ = r d²θ/dt²+ 2 dr/dt dθ/dt
   • a_z= d²z/dt²
6. Если какой-либо из компонентов ускорения рассчитан со знаком минус,то этот компонент ускорения направлен вдоль отрицательного направления оси координат