k-tree
биология

Неопределённость измерений

Неопределённость

Неопределённость измерения типа А

К неопределённостям типа А относят любые неопределённости, которые, по своей природе, могут быть посчитаны только статистически. Результатом подсчёта является закон распределения p(q), для которого выполняются условия:

+∞-∞ p(q)dq = 1
μq = ∫+∞-∞qp(q)dq
σ2q = ∫+∞-∞ (q-μq)2p(q)dq

Статистические оценки

Статистическая оценка среднего значения μq при n замеров в одинаковых условиях:
q = 1/n Σnk=1 qk (1)
Экспериментальная дисперсия - статистическая оценка дисперсии σ2:
s2(qk) = 1/(n-1) Σnj=1 (qj - q)2 (2)
Статистическая оценка дисперсии среднего значения σ(q)2 = σ2/n:
s2(q) = s2(qk)/n (3)

Значение неопределённости

Неопределённость u(xi) статистической оценки среднего значения n замеров величины Xi равна s(Xi) (формула 3).

Степень свободы vi для значения u(xi), равная n-1 (n - количество измерений величины xi) обязательно указывается в документации к определению неопределённости типа А.

Среднее значение неопределённости

Статистическая оценка искомой величины Y, обозначаемая y, рассчитывается основываясь на статистических оценках величин x1, x2, ..., xn: y = f(x1, x2, ..., xn). Иногда предпочтительнее рассчитать статистическую оценку Y по формуле:

y = Y = 1/n Σnk=1Yk = 1/n Σnk=1f(X1,k, X2,k, ..., Xn,k)

Пример расчет неопределенности по типу А

Сложность расчёта неопределённости типа А заключается в правильном выборе метода статистического анализа, так, например, статистическая оценка дисперсии может быть получена по формуле математического ожидания, либо вычислена посредством апроксимации закона распределения к нормальному распределению с последующим выбором доверительного интервала.

Рассмотрим пример замера диаметра цилиндра, номинальным диаметром 24.55см с помощью микрометра.

Номер замераРезультат замера
124.772
224.463
324.340
424.468
524.700
624.871
724.623
824.333
924.570
1024.643
1124.690
1224.469
1324.823
1424.755
1524.209
1624.796
1724.423
1824.890
1924.209
2024.358
2124.371
2224.213
2324.338
2424.258
2524.680
2624.821
2724.580
2824.486
2924.501
3024.407
3124.544
3224.211
3324.501
3424.836
3524.696
3624.298
Таблица 1. Результат замера диаметра цилиндра с помощью микрометра

Статистическая оценка среднего значения 36 независимых измерений легче всего определяется как среднее арифметическое, по формуле:

q = 1/n (Σnk=1qk)
q = (24.772 + 24.463 + ... + 24.298) / 36 = 24.532

Статистическая оценка дисперсии генеральной совокупности:

s2(qk) = 1/(n-1) Σnj=1(qj - q)2
s2(qk) = [(24.772 - 24.532)2 + (24.463 - 24.532)2 + ... + (24.298 - 24.532)2] / 35 = 0.045

Мы получили статистическую оценку дисперсии и значение σ = √s2 - экспериментальное значение стандартного отклонения.

Наилучшей статистической оценкой стандартного отклонения среднего значения является σ2(q) = σ2/n, которую мы получим по формуле стандартной ошибки:

s2(q) = s2(qk)/n
s2(q) = 0.045 / 36 = 0.001250

Данное значение, s2(q), описывает интервал, в котором ожидается значение μq.

Таким образом, для величины диаметра, полученного в результате 36 независимых измерений, неопределённость типа А среднего значения является u(q) = s(q):

uA(q) = 0.035355

Важно!

Данный пример является простым и не может применяться как общий случай для поиска неопределённости типа А в случаях со сложными моделями измерений. Во многих случаях, результатом измерения является сложная модель калибровки, например, основанная на методе наименьших квадратов. В таких случаях необходимо производить статистический анализ измерений. Для величин, зависимых от нескольких переменных, используется дисперсионный анализ (ANOVA).

Неопределённость типа А в эксель

Скачать: Неопределённость_А.xls

Реализация в эксель очень проста, здесь потребуется только формулы СУММ и КОРЕНЬ. Параметры рассчитываются как в примере выше:

  • Статистическая оценка среднего значения - отношение суммы результатов к их количеству
  • Статистическая оценка дисперсии генеральной совокупности - по формуле q = 1/n (Σnk=1qk)
  • Стандартное отклонение среднего значения, sq - отношение дисперсии к количеству результатов минус один
  • Стандартная неопределённость типа А - корень из стандартного отклонения среднего значения

Неопределённость измерения типа Б

Величины Xi, для которых статистическая оценка была получена не посредством измерений, а на основе некоторой научной информации, называется неопределённостью типа Б. Прмером такой информации может послужить: данные предыдущих измерений, опыт, спецификация производителя, данные калибровки, информация из справочников и другие источники априорных значений.

Правильное определение неопределённости типа Б основывается только на опыте и общем понимании процесса измерения. Неопределённость типа Б может быть также информативна как и неопределённость типа А исключительно в ситуациях, когда неопределённость типа А основывается на относительно малом количестве независимых измерений.

Примеры неопределённости типа Б

Неопределённость типа Б - это общее понятие, поэтому количество примеров может быть неограниченным, но общая идея - это интервал, например, "Доверительный интервал с уровнем доверия 82%", или "Неопределённость в пределах трёх стандартных отклонениях".

Пример 1. Неопределённость в стандартных отклонениях

В сертификате о калибровке указано, что действительное значение массы образца из нержавеющей стали, номинальным весом 1 кг, равно 1000,000325 г и "Неопределённость массы равна 240 мкг в пределах трёх стандартных отклонениях".

Таким образом, стандартная неопределённость: u = 240 мкг/3 = 80 мкг. Ожидаемая дисперсия: u2 = (80 мкг)2 = 6,4 • 10-9 г2.

Пример 2. Неопределённость в доверительном интервале

В сертификате о калибровке указано, что сопротивление образца Rs, с номинальным сопротивлением 10 Ом, равно 10,000742 Ом ± 129 мкОм и неопределённость 129 мкОм покрывает доверительный интервал с уровнем доверия 99%.

Стандартная неопределённость u(Rs) = (129 мкОм)/2,58 = 50 мкОм (про число 2,58 и доверительный интервал описано в статье). Относительная неопределённость u(Rs)/Rs = 5,0 • 10-6. Ожидаемая дисперсия: u2(Rs) = (50 мкОм)2 = 2,5 • 10 -9 Ом2.

Скачать статью в формате PDF.

Вам понравилась статья? Да / Нет

Просмотров: 36 764

5 51