k-tree
Электронный учебник

Дисперсионный анализ

В примерах в данной статье данные генерятся при каждой загрузке страницы. Если Вы хотите посмотреть пример с другими значениями -обновите страницу .

ANOVA

ANOVA в статистике - это мощный инструмент для определения влияния различных групп наблюдений между собой. Дисперсионный анализ был введён Фишером - английским учёным, сделавшим огромный вклад в развитие науки. ANOVA - это акроним от ANalysis Of VAriance (дисперсионный анализ).

Пример

Предположим, Вы хотите эмпирическим методом провести исследование бензина на качество, для этого вы заправляете бак на одной заправке и проезжаете n километров, повторяете такой эксперимент, скажем, пять раз, затем проводите такой же эксперимент, только на другой заправке. У Вас два набора данных - заправка A и заправка B. Разумеется, цифры разбегаются, но всё же есть некоторая зависимость, так вот, что бы определить, влияет ли заправка на расход бензина (или данные не связаны между собой) Вы используете дисперсионный анализ.

Дисперсионный анализ позволяет определить какой из факторов влияет больше, внутригрупповой или межгрупповой. В примере выше Вы сможете определить, насколько влияет на расход бензина выбор заправки. В этом суть дисперсионного анализа: узнать, является ли выбранный фактор значимым для выбранных наблюдений.

В некотором смысле, дисперсионный анализ похож на регрессионный и корреляционный анализы, т.к. позволяет определить влияние переменных друг на друга.

Анализ

В теории, для анализа дисперсии выстраивается простая модель, схожая с изучаемой в анализе временых рядов.

Модель

Модель дисперсионного анализа включает в себя среднее значение, эффект эксперимента и случайную ошибку:

y = μ + τ + ε
τ - эффект эксперимента, ε - случайная ошибка

Однофакторный

Однофакторный дисперсионный анализ рассматривает влияние одного критерия, делается это так: мы проводим два эксперимента, в одном из них включаем дополнительный фактор и анализируем, внёс ли этот фактор изменения. В качестве исходных данных рассмотрим результаты ряда экспериментов:

NE1E2E3E4
1584612749
2564112551
3354011558
430529156
550349252
μi45.842.611053.2
μ = (45.8 + 42.6 + 110 + 53.2) / 4 = 62.9
Квадрат ошибок внутри групп (Square Sum within group):
SSw = ΣiΣj(yij - μi)2 = 2098.8
Квадрат ошибок между группами (Square Sum between group):
SSb = Σii - μ)2 = 3017
Учитывая степени свободы, ожидаемое среднее:
MSw = SSw / a(n-1) = 139.92
MSb = SSb / a-1 = 754.25
Значение Fкрит :
F0 = MSb/MSw = 5.391

Тест Фишера: если значение F0 окажется больше чем значение F λ,4,15, значит фактор оказывает влияние.

Для n = 20 и a = 5, Fλ,n-a,a-1 = Fλ,15,4 = 5,86
Поскольку F0 = 5.391 < 5.86, то принимаем, что введённый фактор не оказал влияния на результаты эксперимента.

Двухфакторный

При двухфакторном анализе выдвигаются три гипотезы на проверку:

  • Факторы А и В не оказывают влияния на результат
  • Фактор А не оказывает влияния на результат
  • Фактор B не оказывает влияния на результат

Для проведения двухфакторного анализа необходимо составить группы результатов: несколько измерений для всех значения каждого из факторов, т.е.:

A1A2
B1X1a1,b1...XNa1,b1X1a1,b2...XNa1,b2
B2X1a1,b2...XNa1,b2X1a1,b2...XNa1,b2

Далее подсчитывается среднее значение для каждого значения факторов, т.е. среднее для A1, среднее для В1 и т.д. Затем подсчитывается общее среднее для всех результатов. Зададимся количеством критериев: k = 2 (количество критериев А) и m = 2 (количество критериев В).

T = ΣΣΣxijk
Сумма элементов под влиянием фактора A:
TAi = Σxi·k
Сумма элементов под влиянием фактора B:
TBj = Σx·jk
Сумма элементов под влиянием фактора AB:
TAiBj = Σxij·
SST = Σx2ijk - T2/N
SSA = ΣT2Ai/n·m - T2/N
SSB = ΣT2Bj/n·k - T2/N
SSAB = ΣΣT2AiBj/n - SSA - SSB - T2/N
SSE = ΣΣΣx2ijk - ΣΣT2AiBj/n

SST = SSA + SSB + SSAB + SSE

MSE = SSE/(n-1)·m·k
MSA = SSA/k-1
MSB = SSB/m-1
MSAB = SSAB/(m-1)·(k-1)
Тест "Критерий A не оказывает влияние на результат", ν1 = k-1:
FA = MSA/MSE
Тест "Критерий B не оказывает влияние на результат", ν1 = m-1:
FB = MSB/MSE
Тест "Критерии A и B не оказывают влияние на результат", ν1 = (k-1)(m-1):
Fint = MSAB/MSE

Для каждого F, если F > F α,ν12, то гипотеза отвергается. ν2 = N-mk

Многофакторный

Многофакторный анализ аналогичен двухфакторному - проводятся те же операции, но критерии группируются и итеративно находится влияние каждого из факторов.

С повторными измерениями

Дисперсионный анализ с повторными измерениями озночает, что для каждого критерия производилось несколько замеров случайной величины для получения более точного результата (поскольку в ANOVA) используется внутригрупповая сумма квадратов.

Применение

Дисперсионный анализ применяют в самых различных отраслях науки и производства тогда, когда необходимо изучить зависимость критериев на различие средних значений, при этом сравнивается не среднее значение, а разброс результатов вокруг среднего значения, т.е. дисперсию.

Решение задач

В качестве примера приведём задачу из метрологии. На заводе размещены пять станков, на которых производят валы. Необходимо определить, влияет ли выбор станка или подготовка работника на результат производства. Для анализа производят замеры для каждого станка и работника, в результате получается таблица:

Оператор 1
М1 30.147 30.169 30.133 30.15 30.18 30.223 30.265 30.292 30.101 30.151
М2 30.374 30.354 30.345 30.398 30.331 30.378 30.335 30.357 30.328 30.304
М3 30.301 30.325 30.39 30.355 30.381 30.342 30.361 30.348 30.377 30.365
М4 30.255 29.832 30.067 30.19 29.849 30.212 30.174 30.034 29.858 30.095
М5 30.397 30.399 30.365 30.317 30.374 30.304 30.33 30.302 30.315 30.32
Оператор 2
М1 30.259 30.298 30.235 30.255 30.253 30.298 30.224 30.224 30.264 30.256
М2 30.289 30.207 30.146 30.222 30.241 30.279 30.268 30.191 30.257 30.144
М3 30.164 30.292 30.175 30.112 30.25 30.118 30.245 30.076 30.291 30.258
М4 30.283 30.209 30.217 30.289 30.246 30.25 30.279 30.292 30.285 30.263
М5 30.441 30.425 30.525 30.637 30.614 30.617 30.648 30.495 30.526 30.382

Воспользуемся методом двухфакторного анализа, фактор А - оператор, фактор В - станок. Рассчитаем суммы квадратов, для этого необходимо рассчитать значение среднего для каждой из групп:

TTA1TA2 TB1TB2TB3TB4TB5
3027.563 1512.8491514.714 604.377 605.748 605.526 603.179 608.733
SSA = 0.035
SSB = 0.858
SSAB = 0.583
SSE = 0.467

MSA = 0.035
MSB = 0.215
MSAB = 0.146
MSE = 0.117

FA = 0.299
FB = 1.838
FAB = 1.248

Критические значения для теста Фишера:
Fcrit A = F0.1, 1, 90 = 2.77
Fcrit B = F0.1, 4, 90 = 2.01
Fcrit AB = F0.1, 4, 90 = 2.01

Таблица результатов:

Влияние станка на результат Да 0.299 < 2.77
Влияние квалификации работника на результат Да 1.838 < 2.01
Взаимное влияние квалификации работника и выбора станка на результат Да 1.248 < 2.01

В excel/Open Calc

Для решения дисперсионного анализа в электронной таблице Вам потребуются следующие формулы:

sumproduct Сумма произведений, используется для нахождения суммы квадратов
finv Обратное значение распределения F - критерий Фишера

Таблица для скачивания в форматах ods и xls.

Скачать статью в формате PDF.

Вам понравилась статья? /

Seen: 15 393

Рейтинг: 5 (38 голосов)