Неопределённость измерения типа А
К неопределённостям типа А относят любые неопределённости, которые, по своей природе, могут быть посчитаны только статистически. Результатом подсчёта является закон распределения p(q), для которого выполняются условия:
∫+∞-∞ p(q)dq = 1
μq = ∫+∞-∞qp(q)dq
σ2q = ∫+∞-∞ (q-μq)2p(q)dq
Статистические оценки
Статистическая оценка среднего значения μq при n замеров в одинаковых условиях:
q = 1/n Σnk=1 qk (1)
Экспериментальная дисперсия - статистическая оценка дисперсии σ2:
s2(qk) = 1/(n-1) Σnj=1 (qj - q)2 (2)
Статистическая оценка дисперсии среднего значения σ(q)2 = σ2/n:
s2(q) = s2(qk)/n (3)
Значение неопределённости
Неопределённость u(xi) статистической оценки среднего значения n замеров величины Xi равна s(Xi) (формула 3).
Степень свободы vi для значения u(xi), равная n-1 (n - количество измерений величины xi) обязательно указывается в документации к определению неопределённости типа А.
Среднее значение неопределённости
Статистическая оценка искомой величины Y, обозначаемая y, рассчитывается основываясь на статистических оценках величин x1, x2, ..., xn: y = f(x1, x2, ..., xn). Иногда предпочтительнее рассчитать статистическую оценку Y по формуле:
y = Y = 1/n Σnk=1Yk = 1/n Σnk=1f(X1,k, X2,k, ..., Xn,k)
Пример расчет неопределенности по типу А
Сложность расчёта неопределённости типа А заключается в правильном выборе метода статистического анализа, так, например, статистическая оценка дисперсии может быть получена по формуле математического ожидания, либо вычислена посредством апроксимации закона распределения к нормальному распределению с последующим выбором доверительного интервала.
Рассмотрим пример замера диаметра цилиндра, номинальным диаметром 29.4см с помощью микрометра.
| Номер замера | Результат замера |
| 1 | 29.353 |
| 2 | 29.382 |
| 3 | 29.567 |
| 4 | 29.336 |
| 5 | 29.551 |
| 6 | 29.264 |
| 7 | 29.315 |
| 8 | 29.247 |
| 9 | 29.486 |
| 10 | 29.600 |
| 11 | 29.258 |
| 12 | 29.585 |
| 13 | 29.216 |
| 14 | 29.464 |
| 15 | 29.510 |
| 16 | 29.541 |
| 17 | 29.286 |
| 18 | 29.233 |
| 19 | 29.262 |
| 20 | 29.378 |
| 21 | 29.453 |
| 22 | 29.260 |
| 23 | 29.492 |
| 24 | 29.571 |
| 25 | 29.421 |
| 26 | 29.364 |
| 27 | 29.202 |
| 28 | 29.583 |
| 29 | 29.515 |
| 30 | 29.561 |
| 31 | 29.371 |
| 32 | 29.329 |
| 33 | 29.597 |
| 34 | 29.410 |
| 35 | 29.476 |
| 36 | 29.247 |
| 37 | 29.221 |
| 38 | 29.322 |
| 39 | 29.272 |
| 40 | 29.412 |
| 41 | 29.578 |
| 42 | 29.395 |
| 43 | 29.540 |
| 44 | 29.414 |
| 45 | 29.238 |
| 46 | 29.467 |
| 47 | 29.511 |
| 48 | 29.333 |
| 49 | 29.234 |
| 50 | 29.297 |
| Таблица 1. Результат замера диаметра цилиндра с помощью микрометра | |
Статистическая оценка среднего значения 50 независимых измерений легче всего определяется как среднее арифметическое, по формуле:
q = 1/n (Σnk=1qk)
q = (29.353 + 29.382 + ... + 29.297) / 50 = 29.398
Статистическая оценка дисперсии генеральной совокупности:
s2(qk) = 1/(n-1) Σnj=1(qj - q)2
s2(qk) = [(29.353 - 29.398)2 + (29.382 - 29.398)2 + ... + (29.297 - 29.398)2] / 49 = 0.016
Мы получили статистическую оценку дисперсии и значение σ = √s2 - экспериментальное значение стандартного отклонения.
Наилучшей статистической оценкой стандартного отклонения среднего значения является σ2(q) = σ2/n, которую мы получим по формуле стандартной ошибки:
s2(q) = s2(qk)/n
s2(q) = 0.016 / 50 = 0.000320
Данное значение, s2(q), описывает интервал, в котором ожидается значение μq.
Таким образом, для величины диаметра, полученного в результате 50 независимых измерений, неопределённость типа А среднего значения является u(q) = s(q):
uA(q) = 0.017889
Важно!
Данный пример является простым и не может применяться как общий случай для поиска неопределённости типа А в случаях со сложными моделями измерений. Во многих случаях, результатом измерения является сложная модель калибровки, например, основанная на методе наименьших квадратов. В таких случаях необходимо производить статистический анализ измерений. Для величин, зависимых от нескольких переменных, используется дисперсионный анализ (ANOVA).
Неопределённость типа А в эксель
Скачать: Неопределённость_А.xls
Реализация в эксель очень проста, здесь потребуется только формулы СУММ и КОРЕНЬ. Параметры рассчитываются как в примере выше:
- Статистическая оценка среднего значения - отношение суммы результатов к их количеству
- Статистическая оценка дисперсии генеральной совокупности - по формуле q = 1/n (Σnk=1qk)
- Стандартное отклонение среднего значения, sq - отношение дисперсии к количеству результатов минус один
- Стандартная неопределённость типа А - корень из стандартного отклонения среднего значения
Неопределённость измерения типа Б
Величины Xi, для которых статистическая оценка была получена не посредством измерений, а на основе некоторой научной информации, называется неопределённостью типа Б. Прмером такой информации может послужить: данные предыдущих измерений, опыт, спецификация производителя, данные калибровки, информация из справочников и другие источники априорных значений.
Правильное определение неопределённости типа Б основывается только на опыте и общем понимании процесса измерения. Неопределённость типа Б может быть также информативна как и неопределённость типа А исключительно в ситуациях, когда неопределённость типа А основывается на относительно малом количестве независимых измерений.
Примеры неопределённости типа Б
Неопределённость типа Б - это общее понятие, поэтому количество примеров может быть неограниченным, но общая идея - это интервал, например, "Доверительный интервал с уровнем доверия 82%", или "Неопределённость в пределах трёх стандартных отклонениях".
Пример 1. Неопределённость в стандартных отклонениях
В сертификате о калибровке указано, что действительное значение массы образца из нержавеющей стали, номинальным весом 1 кг, равно 1000,000325 г и "Неопределённость массы равна 240 мкг в пределах трёх стандартных отклонениях".
Таким образом, стандартная неопределённость: u = 240 мкг/3 = 80 мкг. Ожидаемая дисперсия: u2 = (80 мкг)2 = 6,4 • 10-9 г2.
Пример 2. Неопределённость в доверительном интервале
В сертификате о калибровке указано, что сопротивление образца Rs, с номинальным сопротивлением 10 Ом, равно 10,000742 Ом ± 129 мкОм и неопределённость 129 мкОм покрывает доверительный интервал с уровнем доверия 99%.
Стандартная неопределённость u(Rs) = (129 мкОм)/2,58 = 50 мкОм (про число 2,58 и доверительный интервал описано в статье). Относительная неопределённость u(Rs)/Rs = 5,0 • 10-6. Ожидаемая дисперсия: u2(Rs) = (50 мкОм)2 = 2,5 • 10 -9 Ом2.
