Интегрирование функций

Задача: посчитать площадь фигуры, которая ограничена произвольной функцией.

Пусть задана некоторая функция f : D ∈ R² → R на закрытом интервале D=[a,b]. Разобьём область определения на промежутки и представим данный интервал в виде ряда: D = {x₀=a,x₁,...,x_n-1,x_n=b}.

Интеграл Римана

Пусть дана функция f ограниченная на интервале [a,b]. Функция является интегрируемой на интервале [a,b] и значение интеграла равно s, если

∫^b_a f = ∫^b_a f = s ∴ ∫^b_a f = s

Критерий интегрируемости Римана

Функция f, ограниченная на интервале [a,b], является интегрируемой, если для любого ε > 0 существует такое разделение области определения, что U(f,D) - L(f,D) < ε

Высшая сумма Римана

U(f,D) = Σⁿ_i=1M_i(x_i-x_i-1), где M_i = sup _{x∈[xi-1,xi]}{f(x)}

Низшая сумма Римана

L(f,D) = Σⁿ_i=1M_i(x_i-x_i-1), где M_i = inf _{x∈[xi-1,xi]}{f(x)}

Теоремы интегрального исчисления

Теорема о среднем значении

Пусть дана непрерывная функция f : [a,b] ⊂ R → R, тогда существует c ∈ (a,b) такое, что f(c) = ∫^b_af(t)dt / (b-a) и это значение будет иметь смысл среднего арифметического.

Основная теорема анализа

Пусть дана непрерывная функция f(x), тогда существует некоторая дифференциируемая функция F(x) такая, что F(x) = ∫^x_af(t)dt. При этом F'(x) = f(x). Функция F называется первообразной функции f. Если F и G - две первообразные фукнции f, то они различаются на константу: G(x) = F(x) + c

∫^b_af(x)dx = F(b) - F(a) = F(x) ]^x=b_x=a

Интегрирование по частям

d(u⋅v) = du⋅v + dv⋅u
∫udv = u⋅v - ∫v du
∫^b_au⋅dv = u⋅v]^b_a - ∫^b_av du

Замена переменной

Пусть даны две функции f и g, G - первообразная g, тогда по правилу цепочки:
(G○f(x))' = G'(f(x))⋅f'(x) = g(f(x))⋅f'(x)
Заменим t = f(x), dt = f'(x)dx и получим следующий интеграл:
∫g(f(x))f'(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C = G(f(x)) + C

Нахождение площади с помощью интеграла

Задача: найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом с радиусами a и b.

Уравнение эллипса выглядит так: x²/a² + y²/b² = 1.
Для расчёта площади нам необходимо получить выражение функции y=f(x), выразим y:
y = √[b²(1-x²/a²)]
Площадь фигуры:
A = 2∫^a_-af(x)dx = 2 ∫^a_-a √[b²(1-x²/a²)dx] = 2 (b/a)∫√[a²-x²]dx
Воспользуемся заменой переменной a⋅sin(t) = x, a⋅cos(t)dt = dx:
= 2(b/a)a² ∫^π/2_-π/2cos²tdt = 2ba∫^π/2_-π/2[(1+cos2t)/2]dt = ab(t + ½sin2t)^π/2_-π/2 = πab

Площадь между графиками двух функций

Площадь между двумя функциями на закрытом интервале [a,b] определяется как ∫^b_a|f(x)-g(x)|dx. На практике проще разбить интеграл на интервалы, в которых не меняется знак и проинтегрировать найденные участки отдельно.

Объём фигуры метод дисков

Пусть дана некоторая функция f : [a,b] → R. Объём фигуры, образованной путём вращения функции вокруг оси X можно найти с помощью интеграла: V = ∫^b_ay²dx

Длина кривой

Длина кривой, образованной некоторой функцией f, между точками a и b равна интегралу: L = ∫^b_a √[1+f'(x)]dx.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь поверхности тела вращения, образованного в результате вращения функции f(x) вокруг оси x, равна интегралу: A = 2π∫^b_af(x)√[1+f'(x)²]dx