Предел

Предел скалярной функции от одной переменной

Обозначим открытое множество D ⊂ R и функцию f : D → R от одной переменной. Точка x₀ является предельной точкой множества D: x₀ ∈ D. Пределом функции f при x стремящемся к x₀ является h если для любого ε > 0 существует такая δ > 0, что

x ∈ D, x ≠ x₀, |x-x₀| < δ ∴ |f(x)-h| < ε
(∴ обозначает "следовательно")

Односторонний предел

Правосторонний предел f когда x стремится к x₀ справа равен h₁, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такая, что

x ∈ D, x > x₀, |x-x₀| < δ ∴ |f(x)-h₁| < ε

Левосторонний предел f когда x стремится к x₀ слева равен h₂, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такая, что

x ∈ D, x < x₀, |x-x₀| < δ ∴ |f(x)-h₂| < ε

Если существует предел f в точке x₀ и его значение равно h, то существуют односторонние пределы и они совпадают со значением h. Если односторонние пределы не совпадают, то предел не существует

Свойства пределов

Если существуют пределы функций f и g в точке a, то

• lim_x→a(c⋅f(x)) = c⋅lim_x→a(f(x))
• lim_x→a(f(x)+g(x)) = lim_x→a(f(x)) + lim_x→a(g(x))
• lim_x→a(f(x)⋅g(x)) = lim_x→a(f(x)) ⋅ lim_x→a(g(x))
• lim_x→a(f(x)/g(x)) = lim_x→a(f(x)) / lim_x→a(g(x)) (если lim_x→a(g(x))≠0)
• lim_x→a(f(x)^g(x)) = lim_x→a(f(x)) ^{lim_x→a(g(x))}

Предел функции с двумя переменными

Пусть D⊂R² - открытое множество и функция f: D→R - функция с двумя переменными. Точка a является предельной точкой. Предел функции f, когда x стремится к a равен h, если для любого ε > 0 существует такое значение δ > 0, что

x ∈ D, x ≠ a, ||x-a|| < δ ∴ |f(x)-h| < ε

Определение предела

Пусть D - это открытое подмножество Rⁿ и функция f : D → R^m. Точка a ∈ D и h ∈ R^m. Предел функции f, когда x стремится к a, равен h если для любого ε > 0 существует δ > 0 такая, что

x ∈ D, x ≠ a, ||x-a|| < δ ∴ |f(x)-h| < ε
и записывается в виде:
lim_x→af(x) = h

Свойства предела

Точка a∈D не обязательно принадлежит множеству D, поэтому может не существовать, т.е. для существования предела в точке а нет необходимости, что бы функция была определена в данной точке.

f(x) приближается к h тогда, когда x приближается к a, другими словами, функция стремится к h, когда x стремится к a: f(x) → h.

Если существует предел lim_x→af(x), то он единственный, то есть не может существовать два различных предела в одной точке.

Предел по фильтру

Пусть дана функция f: D ⊂ Rⁿ → R^m и подмножество S ⊂ D такое, что a ∈ S. Предел по фильтру S в точке a равен h, если для любого ε > 0 существует такое значение σ > 0, что:

x ∈ S, x ≠ a, ||x-a|| < δ ∴ ||f(x)-h|| < ε

Если предел функции в какой либо точке равен h, то значение предла для любого фильтра S будет также равно h. Таким образом, если не существует предел хотя бы по одному фильтру, то, следовательно, предел не существует. Также, если пределы по двум фильтрам не совпадают, то предел не существует.

Пример

Пусть дана функция f: R²\{(0,0)} → R
f(x,y) = xy/(x²+y²)
Обозначим два фильтра S₁ = {(x,y)∈R² / x = y} и S₂ = {(x,y)∈R² / x = -y} и найдём пределы в точке 0:
x∈S₁: lim_{[(x,y)→(0,0)]}f(x,y)=lim _[x→0]x²/2x²=1/2
x∈S₂: lim_{[(x,y)→(0,0)]}f(x,y)=lim _[x→0]-x²/2x²=-1/2
Пределы не совпадают, поэтому предел не существует.

Непрерывность функции

Дана функция f: D ⊂ Rⁿ → R^m с областью определения D и точкой a ∈ D. Функция f является непрерывной в точке a если lim _x→af(x)=f(a). Функция называется непрерывной если она непрерывна в любой точке из области определения D.

Свойства непрерывных функций

Для функций f: D ⊂ Rⁿ → R^m и g: D ⊂ Rⁿ → R^m и числа c ∈ R справедливо:

• Если f непрерывна в точке a, то функция c⋅f тоже непрерывна
• Если f и g непрерывны в точке a, то функция g+f тоже непрерывна
• Если f и g непрерывны в точке a и m=1, то функция f⋅g тоже непрерывна в точке a
• Если f ⊂ Rⁿ → R непрерывна в точке a и не равна нулю во всей области определения, то функция 1/f тоже непрерывна в точке a
• Если f ⊂ Rⁿ → R^m и f(x) = (f₁(x),...,f_m(x)), то функция f непрерывна в точке x тогда и только тогда, когда непрерывны все функции f_i(x) для 1 ≤ i ≤ m

Непрерывность сложных функций

Даны функции f:D⊂Rⁿ→R^m и g:V⊂R^m→R^p. При соблюдении условий f(D)⊂V и g(f(x)), если f непрерывна в точке a, и g непрерывна в точке b = f(a), то g(f(x)) также непрерывна в точке a.

Теорема Кантора - Гейне

Пусть дана функция f : D ⊂ Rⁿ → R ^m и такая область D, что D является компактным множеством. Если функция непрерывна, то у функции обязательно есть минимальное и максимальное значение.