Дифференцирование

Производная функции от одной переменной

Производная функции - это величина изменения функции в данной точке. f(x) показывает изменение f при бесконечно малом x.

Дана некая функция f: U → R определённая на открытом интервале U ⊂ R. Дана точка a ∈ U. Производная функции f в точке a равна пределу:

$$f'(a)=\lim_{h \to 0} \left(f(a+h)-f(a)\over h\right)$$

Производная по направлению

Такая производная показывает приращение функции вдоль заданного направления.

Дано множество U ⊂ R² и функция f : U → R. Дана некая точка (a,b)∈U и единичный вектор u = (c,d)∈R². Производная функции f по направлению вектора u в точке (a,b) равна:

$$\vec{u} = cos\theta\vec{i} + sin\theta\vec{j} $$
$$D_u f(a,b) = \lim_{h \to 0} \left( f(a + h \cdot cos\theta, b + h \cdot sin\theta) - f(a,b) \over h \right) $$

Частные производные

Для открытого интервала U ⊂ R² и функции f: U → R частная производная по x - это производная по направлению вектора (1,0), т.е.:

$$ \frac{df}{dx} (a, b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h,b) - f(a,b)}{h} $$

Аналогично, производная по y - это производная по направлению (0,1):

$$ \frac{df}{dy}(a,b)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a,b+h)-f(a,b)}{h} $$

В общем случае, для n-мерного пространства, частной производной по отношению к i-й переменной, df/dx_i, является предел:

$$ \frac{df}{dx_i}=\lim_{h\to0}\frac{f(x_1,x_2,...,x_i+h,...,x_n)-f(x_1,...,x_n)}{h} = \lim_{h\to0}\frac{f(x+he_i)-f(x)}{h} $$ где 1≤i≤n и вектор e₁ - вектор стандартного базиса: e_i=(0,...,1,...,0) с единицой на позиции i.

Касательная плоскость к поверхности

Пусть дана функция f: U ⊂ R² → R и точка (a,b) ∈ U. Если существует касательная плоскость в точке (a,b,f(a,b)), то она определена уравнением:

$$ z = P_{(a,b)}f(x,y)=f(a,b)+\frac{df}{dx}|_{(a,b)}(x-a)+\frac{df}{dy}|_{(a,b)}(y-b) $$

Пусть дана функция f: U ⊂ R² → R, дифференциалом функции в точке (a,b) будет являться выражение:

$$ D_{(a,b})f(x,y) = \frac{df}{dx}|_{(a,b)}(x-a) + \frac{df}{dy}|_{(a,b)}(y-b)$$

Дифференцируемость функции

Функция f(x,y) дифференцируема в (a,b) если существуют частные производные и следующий предел:

$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-(f(a,b)+D_{(a,b)}f(x,y))}{||(x,y)-(a,b)||} = 0 $$

Градиент функции

Градиент-вектор функции f:U⊂Rⁿ→R в точке a:

$$ \nabla f(a) = (\frac{df}{dx_1}(a), ..., \frac{df}{dx_n}(a))$$

Теорема. Если функция f:U⊂Rⁿ→R дифференцируема, то существуют частные производные в любом направлении и определяются как D_vf(a)=∇f(a)⋅v

Частные производные старшего порядка смешанные производные

Дана дифференцируемая функция f:U⊂Rⁿ→R, df/dx_i: U ⊂ Rⁿ→R, производная второго порядка определяется так: d/dx_j(df/dx_i)(x_i, ..., x_n) = d²f/dx_jdx_i(x_i, ..., x_n). Таким же образом образуются частные производные старшего порядка.

Если функция f дифференцируема до степени n и все частные производные до степени n непрерывны, то функция f принадлежит классу n: f∈Cⁿ

Теорема Шварца: смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь очерёдностью дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности.

Матрица Якоби

Пусть дана векторная функция f: U ⊂ Rⁿ → R^m, f=(f₁,...,f_m) и существуют частные производные f₁,...,f_m в точке a∈U, матрица Якоби для f в точке a будет определена так:

$$ J_{f}(a) = \left[ {\begin{array}{ccc} \frac{df_1}{dx_1}(a) & ... & \frac{df_1}{dx_n}(a) \\ ... & ... & ... \\ \frac{df_n}{dx_1}(a) & ... & \frac{df_n}{dx_n}(a) \\ \end{array} } \right] $$

Функция f дифференцируема в точке a, если существует матрица Якоби в точке а и предел:

$$ \lim_{x\to a}\frac{||f(x)-f(a)-J_{f}(a)(x-a)||}{||x-a||} = 0 $$