Общая топология

Топология R одна координата

Для начала рассмотрим топологию пространства в одной координате, затем расширим знания для многомерного пространства.

Интервалы

Интервал в одноостной системе координат, то есть в такой, в которой присутствует только координата x - это участок прямой, заключённый между точками a и b. Если интервал включает точки a и b, то интервал называется закрытым, если точки a и b не включены, то такой участок называется открытым интервалом.

Открытый интервал
(a,b) := {x ∈ R : a < x < b}
Закрытый интервал
[a,b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}

Также интервал может быть ограничен только с одной стороны:

(a, ∞) := {x ∈ R : a < x}
(-∞, a) := {x ∈ R : x < a}

Точки

Мажоранта и миноранта

a будет являться мажорантой множества A, если a ≥ x для любого x ∈ A
a будет являться минорантой множества A, если a ≤ x для любого x ∈ A
Множество называется закрытым, если у множества есть мажоранта и миноранта.

Максимум и минимум

Максимумом множества A называется точка, которая удовлетворяет условию {Max(A)=a} = {a > x, x ∈ A}
Минмум множества A: {Min(A) = a} = {a ≤ x, x ∈ A}

Супремум и инфимум

Супремум - это наименьшая из всех мажорант, инфимум - это наибольшая из всех минорант.

Пример

A = {x∈R: |x| < 3}, преобразуя, получим {x∈R: -3 < x < 3}. Мажорантой множества А может являться любая точка, удовлетворяющая условию {x≥3}, например, 3, 7 и т.д. Миноранта множества А подходит под правило {x≤-3}, например, -3, -5 и т.д. У множества A нет максимума и нет минимума. Супремум и инфимум множества А: sup(A) = 3, inf(A) = -3.

Топология Rⁿмногомерное пространство

Пусть точка x₀ ∈ Rⁿ и r > 0.
Обозначим открытый шар с центром в точке x₀ и радиусом r:
B_r(x₀) := {x ∈ Rⁿ: ||x-x₀|| < r}

Выберем в качестве подмножества Rⁿ множество А: A ⊂ Rⁿ. Точка x₀, которая принадлежит Rⁿ может быть охарактеризована так:

Точка x₀ является внутренней точкой множества, если можно выбрать такое значение r₀, что существует открытая сфера B_r(x₀) ⊂ A, при r₀ > 0

Предельной точкой называется такая точка x₀, что для любого r₀ выполняется условие B_r(x₀) ∩ A ≠ ∅ (B_r - открытая сфера с центром в точке x₀ и любым радиусом, пересечение B_r со множеством A не является пустым множеством)

Граничная точка множества: для любого r > 0 выполняются условия B_r(x₀) ∩ A ≠ ∅ и B_r(x₀) ∩ (Rⁿ\A) ≠ ∅

Множество внутренних точек множества А обозначается A° и называется внутренностью множества.

Множество предельных точек множества А обозначается A.

Множество граничных точек множества А называется границей множества и обозначается ∂A.

Открытое множество

Множество А является открытым множеством, если все его точки являются внутренними, то есть для любой x₀ существует такое значение r₀ > 0, что B_r(x₀) ⊂ A.

Примеры

• Открытый интервал является открытым множеством R
• Открытая сфера является открытым множеством Rⁿ
• Пустое множество ∅ и всё пространство Rⁿ- открытые множества

Свойства

• Объединение неограниченного количества открытых множеств является открытым множеством
• Пересечение открытых множеств является открытым множеством
• Множество A ⊂ Rⁿ является открытым только если A = A°, частный случай - множество внутренних точек всегда является открытым множеством
• Для множества A ⊂ Rⁿ множество внутренних точек это пересечение всех открытых множеств содержащихся в A

Закрытое множество

Множество A ⊂ Rⁿ называется закрытым если дополнение Rⁿ\A - это открытое множество

Примеры

• Закрытые интервалы являются закрытыми множествами
• Дополнение открытой сферы является закрытым множеством ⊂ Rⁿ
• Пустое множество ∅ и всё пространство Rⁿ являются закрытым множеством (и открытым одновременно)

Свойства

• Объединение неограниченного количества закрытых множеств является закрытым множеством
• Пересечение закрытых множеств является закрытым множеством
• Множество A ⊂ Rⁿ является закрытым тогда и только тогда, когда A = A, частный случай - множество предельных точек всегда является закрытым множеством

Ограниченое множество

Множество A ⊂ Rⁿ является ограниченым если существуют r > 0 и точка x₀ такие, что A ⊂ B_r(x₀). Например, открытая сфера - это ограниченное множество, плоскость не является ограниченным множеством.

Компактное множество

Множество называется компактным, если оно закрыто и ограничено. Например, закрытый интервал является компактным множеством.