k-tree

Математика

1. Применение дифференциала

Ряд тейлора. Экстремум функции. Условные экстремумы - метод множителей Лагранжа.

2. Интегрирование

Площадь под графиком. Интеграл. Первообразная.

3. Общая топология

Топология пространства, обозначения и виды множеств

4. Пределы

Предел функции. Свойства пределов. Непрерывность функции

5. Системы координат

Какие бывают системы координат. Перевод системы координат.

6. Дифференцирование

Производная. Дифференцируемость. Градиент. Матрица Якоби.

Термодинамика

Метрология

Статистика

Автоматика

Экология

Химия

Физика



Общая топология

Топология R одна координата

Для начала рассмотрим топологию пространства в одной координате, затем расширим знания для многомерного пространства.

Интервалы

Интервал в одноостной системе координат, то есть в такой, в которой присутствует только координата x - это участок прямой, заключённый между точками a и b. Если интервал включает точки a и b, то интервал называется закрытым, если точки a и b не включены, то такой участок называется открытым интервалом.

Открытый интервал
(a,b) := {x ∈ R : a < x < b}
Закрытый интервал
[a,b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}

Также интервал может быть ограничен только с одной стороны:

(a, ∞) := {x ∈ R : a < x}
(-∞, a) := {x ∈ R : x < a}

Точки

Мажоранта и миноранта

a будет являться мажорантой множества A, если a ≥ x для любого x ∈ A
a будет являться минорантой множества A, если a ≤ x для любого x ∈ A
Множество называется закрытым, если у множества есть мажоранта и миноранта.

Максимум и минимум

Максимумом множества A называется точка, которая удовлетворяет условию {Max(A)=a} = {a > x, x ∈ A}
Минмум множества A: {Min(A) = a} = {a ≤ x, x ∈ A}

Супремум и инфимум

Супремум - это наименьшая из всех мажорант, инфимум - это наибольшая из всех минорант.

Пример

A = {x∈R: |x| < 3}, преобразуя, получим {x∈R: -3 < x < 3}. Мажорантой множества А может являться любая точка, удовлетворяющая условию {x≥3}, например, 3, 7 и т.д. Миноранта множества А подходит под правило {x≤-3}, например, -3, -5 и т.д. У множества A нет максимума и нет минимума. Супремум и инфимум множества А: sup(A) = 3, inf(A) = -3.

Топология Rnмногомерное пространство

Пусть точка x0 ∈ Rn и r > 0.
Обозначим открытый шар с центром в точке x0 и радиусом r:
Br(x0) := {x ∈ Rn: ||x-x0|| < r}

Выберем в качестве подмножества Rn множество А: A ⊂ Rn. Точка x0, которая принадлежит Rn может быть охарактеризована так:

Точка x0 является внутренней точкой множества, если можно выбрать такое значение r0, что существует открытая сфера Br(x0) ⊂ A, при r0 > 0

Предельной точкой называется такая точка x0, что для любого r0 выполняется условие Br(x0) ∩ A ≠ ∅ (Br - открытая сфера с центром в точке x0 и любым радиусом, пересечение Br со множеством A не является пустым множеством)

Граничная точка множества: для любого r > 0 выполняются условия Br(x0) ∩ A ≠ ∅ и Br(x0) ∩ (Rn\A) ≠ ∅

Множество внутренних точек множества А обозначается A° и называется внутренностью множества.

Множество предельных точек множества А обозначается A.

Множество граничных точек множества А называется границей множества и обозначается ∂A.

Открытое множество

Множество А является открытым множеством, если все его точки являются внутренними, то есть для любой x0 существует такое значение r0 > 0, что Br(x0) ⊂ A.

Примеры

  • Открытый интервал является открытым множеством R
  • Открытая сфера является открытым множеством Rn
  • Пустое множество ∅ и всё пространство Rn- открытые множества

Свойства

  • Объединение неограниченного количества открытых множеств является открытым множеством
  • Пересечение открытых множеств является открытым множеством
  • Множество A ⊂ Rn является открытым только если A = A°, частный случай - множество внутренних точек всегда является открытым множеством
  • Для множества A ⊂ Rn множество внутренних точек это пересечение всех открытых множеств содержащихся в A

Закрытое множество

Множество A ⊂ Rn называется закрытым если дополнение Rn\A - это открытое множество

Примеры

  • Закрытые интервалы являются закрытыми множествами
  • Дополнение открытой сферы является закрытым множеством ⊂ Rn
  • Пустое множество ∅ и всё пространство Rn являются закрытым множеством (и открытым одновременно)

Свойства

  • Объединение неограниченного количества закрытых множеств является закрытым множеством
  • Пересечение закрытых множеств является закрытым множеством
  • Множество A ⊂ Rn является закрытым тогда и только тогда, когда A = A, частный случай - множество предельных точек всегда является закрытым множеством

Ограниченое множество

Множество A ⊂ Rn является ограниченым если существуют r > 0 и точка x0 такие, что A ⊂ Br(x0). Например, открытая сфера - это ограниченное множество, плоскость не является ограниченным множеством.

Компактное множество

Множество называется компактным, если оно закрыто и ограничено. Например, закрытый интервал является компактным множеством.



© 2015-2017 - K-Tree.ru
Копия материалов, размещённых на данном сайте, допускается только по письменному разрешению владельцев сайта.
По любым вопросам Вы можете связаться по почте info@k-tree.ru