k-tree

Общая топология

Топология R одна координата

Для начала рассмотрим топологию пространства в одной координате, затем расширим знания для многомерного пространства.

Интервалы

Интервал в одноостной системе координат, то есть в такой, в которой присутствует только координата x - это участок прямой, заключённый между точками a и b. Если интервал включает точки a и b, то интервал называется закрытым, если точки a и b не включены, то такой участок называется открытым интервалом.

Открытый интервал
(a,b) := {x ∈ R : a < x < b}
Закрытый интервал
[a,b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}

Также интервал может быть ограничен только с одной стороны:

(a, ∞) := {x ∈ R : a < x}
(-∞, a) := {x ∈ R : x < a}

Точки

Мажоранта и миноранта

a будет являться мажорантой множества A, если a ≥ x для любого x ∈ A
a будет являться минорантой множества A, если a ≤ x для любого x ∈ A
Множество называется закрытым, если у множества есть мажоранта и миноранта.

Максимум и минимум

Максимумом множества A называется точка, которая удовлетворяет условию {Max(A)=a} = {a > x, x ∈ A}
Минмум множества A: {Min(A) = a} = {a ≤ x, x ∈ A}

Супремум и инфимум

Супремум - это наименьшая из всех мажорант, инфимум - это наибольшая из всех минорант.

Пример

A = {x∈R: |x| < 3}, преобразуя, получим {x∈R: -3 < x < 3}. Мажорантой множества А может являться любая точка, удовлетворяющая условию {x≥3}, например, 3, 7 и т.д. Миноранта множества А подходит под правило {x≤-3}, например, -3, -5 и т.д. У множества A нет максимума и нет минимума. Супремум и инфимум множества А: sup(A) = 3, inf(A) = -3.

Топология Rnмногомерное пространство

Пусть точка x0 ∈ Rn и r > 0.
Обозначим открытый шар с центром в точке x0 и радиусом r:
Br(x0) := {x ∈ Rn: ||x-x0|| < r}

Выберем в качестве подмножества Rn множество А: A ⊂ Rn. Точка x0, которая принадлежит Rn может быть охарактеризована так:

Точка x0 является внутренней точкой множества, если можно выбрать такое значение r0, что существует открытая сфера Br(x0) ⊂ A, при r0 > 0

Предельной точкой называется такая точка x0, что для любого r0 выполняется условие Br(x0) ∩ A ≠ ∅ (Br - открытая сфера с центром в точке x0 и любым радиусом, пересечение Br со множеством A не является пустым множеством)

Граничная точка множества: для любого r > 0 выполняются условия Br(x0) ∩ A ≠ ∅ и Br(x0) ∩ (Rn\A) ≠ ∅

Множество внутренних точек множества А обозначается A° и называется внутренностью множества.

Множество предельных точек множества А обозначается A.

Множество граничных точек множества А называется границей множества и обозначается ∂A.

Открытое множество

Множество А является открытым множеством, если все его точки являются внутренними, то есть для любой x0 существует такое значение r0 > 0, что Br(x0) ⊂ A.

Примеры

  • Открытый интервал является открытым множеством R
  • Открытая сфера является открытым множеством Rn
  • Пустое множество ∅ и всё пространство Rn- открытые множества

Свойства

  • Объединение неограниченного количества открытых множеств является открытым множеством
  • Пересечение открытых множеств является открытым множеством
  • Множество A ⊂ Rn является открытым только если A = A°, частный случай - множество внутренних точек всегда является открытым множеством
  • Для множества A ⊂ Rn множество внутренних точек это пересечение всех открытых множеств содержащихся в A

Закрытое множество

Множество A ⊂ Rn называется закрытым если дополнение Rn\A - это открытое множество

Примеры

  • Закрытые интервалы являются закрытыми множествами
  • Дополнение открытой сферы является закрытым множеством ⊂ Rn
  • Пустое множество ∅ и всё пространство Rn являются закрытым множеством (и открытым одновременно)

Свойства

  • Объединение неограниченного количества закрытых множеств является закрытым множеством
  • Пересечение закрытых множеств является закрытым множеством
  • Множество A ⊂ Rn является закрытым тогда и только тогда, когда A = A, частный случай - множество предельных точек всегда является закрытым множеством

Ограниченое множество

Множество A ⊂ Rn является ограниченым если существуют r > 0 и точка x0 такие, что A ⊂ Br(x0). Например, открытая сфера - это ограниченное множество, плоскость не является ограниченным множеством.

Компактное множество

Множество называется компактным, если оно закрыто и ограничено. Например, закрытый интервал является компактным множеством.


Если Вам стало понятно - порекомендуйте статью своим друзьям:




Если Вы что-то не поняли - спросите это у нас:

Математика

Применение дифференциала

Ряд тейлора. Экстремум функции. Условные экстремумы - метод множителей Лагранжа.

Интегрирование

Площадь под графиком. Интеграл. Первообразная.

• Общая топология

Топология пространства, обозначения и виды множеств

Пределы

Предел функции. Свойства пределов. Непрерывность функции

Системы координат

Какие бывают системы координат. Перевод системы координат.

Дифференцирование

Производная. Дифференцируемость. Градиент. Матрица Якоби.




© 2015-2017 - K-Tree.ru
Копия материалов, размещённых на данном сайте, допускается только по письменному разрешению владельцев сайта.
По любым вопросам Вы можете связаться по почте info@k-tree.ru