k-tree

Анализ данных

1. Нормальное распределение

Любой процесс можно описать нормальным распределением

2. Распределение Пуассона

Второе по популярности распределение

3. Закон распределения

Как структурировать данные полученные в ходе статистического исследования

4. Параметры дискретного закона распределения

Критерии для сравнения распределений

5. Статистическая гипотеза

Статистическая гипотеза. Проверка утверждений. Общие вопросы

Прогнозирование



Распределение Пуассона

Вероятность (в общем)

Очень важная вероятность, используется буквально ежедневно на производстве и в сфере обслуживания и других науках. Суть очень проста: если мы знаем вероятность события и если такие события происходят независимо друг от друга, то мы можем узнать:

  • a. Вероятность, что произойдёт N событий
  • b. Вероятность, что произойдёт меньше чем N событий
  • c. Вероятность, что произойдёт больше, чем N событий

Вероятность (конкретный случай)

Один пример

Если на светофоре зелёный свет горит 10 секунд из 70, то на красный свет в среднем пробегают 4 человека, если зелёный свет горит 15 секунд из 100 - на красный пробегают 5 человек, какой режим работы светофора предпочтительнее?

Ещё пример

На заводе производят 1000 валов в день, каждый стоимостью 100 рублей, вероятность, что изготовленный вал не будет соответствовать спецификации (окажется бракованным) равна 0.3%,: какова вероятность, что из 5 000 валов будет меньше 10 бракованных? Другими словами, какова вероятность, что за рабочую неделю завод потеряет меньше 1000 рублей?

Пример из жизни

Планируется выдать страховку на 10 000 автомобилей конкретной марки. Вероятность аварии для данной марки - 0.2%. Какова минимальная стоимость страховки, что бы быть уверенным на 90% в прибыльности страхования?

Главная задача таких распределений - возможность предсказать потери, составлять планы на будущее.

Распределение Пуассона - определение

Распределение Пуассона — вероятностное распределение дискретного типа, моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга

Параметр лямбда - λ

Распределение Пуассона зависит только от одного параметра - λ (и, разумеется, искомой величины), данный параметр зависит от вероятности успешного события и общего количества событий.
Успешное событие: распределение Пуассона применяется только тогда, когда есть разделение на результат "да" и "нет", например, лампочка перегорела: да - успешное событие (происходит редко); шина прокололась: да - успешное событие и так далее.

Успешное событие не то же самое, что желаемое :)
λ = n*p, где n - общее количество событий, а p - вероятность успешного события

Пример

В тысяче ящиков с яблоками в одном попадается тухлое яблоко, какова вероятность, что в 5000 ящиках будет меньше 4 ящиков с тухлым яблоком?

Вероятность ящика с тухлым яблоком - 0.1% (1 ящик на 1000 = 1/1000, если в процентах - 1/1000 * 100 = 0.1%)
Общее количество событий - 5000 ящиков
Из вышесказанного следует:
λ = 5000 * 0.001 = 5

Функция вероятности (формула Пуассона)

Вероятность, что успешное событие произойдёт k раз:

f(k) = P(k) = λk * e / k!

Пример

В тысяче ящиков с яблоками в одном попадается тухлое яблоко, какова вероятность, что в 5000 ящиках будет 2 ящика с тухлым яблоком?

Из предыдущего примера мы знаем, что λ=5, теперь мы ищем вероятность, что k будет равно 2, для этого используем формулу функции вероятности:

f(4) = P(k = 4) = λk e / k! = 52 * e-5 / 2! = 0.084 = 8.4%

Закон распределения

F(n) = P(k ≤ n) = Г (k+1,λ) / k!

График распределения Пуассона

λ =

Обратите внимание, что при достаточно большом значении λ график распределения становится похож на график нормального распределения

5000
0.1%
5
3
P(k≥3)
0.734
5000
0.0001
5
3
3
P(k=3)
0.14
5000
0.1%
5
3
P(k≤3)
0.265

Следующая статья - Закон распределения.

© 2015-2017 - K-Tree.ru
Копия материалов, размещённых на данном сайте, допускается только по письменному разрешению владельцев сайта.
По любым вопросам Вы можете связаться по почте info@k-tree.ru