Неверно писать биномиНальное, верно - «биномиальное».
Данная статья подразумевает, что Вы уже знакомы с основами статистики, в частности, что такое закон распределения и какими параметрами он характеризуется.
Биномиальное распределение - это описание «N» независимых экспериментов, результат которых всегда либо строго положителен либо строго отрицателен. Важно, что эксперименты проводятся в одних и тех же условиях. В качестве примера можно рассмотреть подбрасывание монеты или угадывание результатов теста, в случае с монетой положительным результатом станет «орёл» и при угадывании теста - правильный ответ.
Проводимые эксперементы должны быть независимы, это означает, что результат последующего не зависит от результата предыдущего.
№ | Результат | № | Результат | № | Результат | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | решка | 2 | решка | 3 | орёл | |||
4 | орёл | 5 | решка | 6 | решка | |||
7 | решка | 8 | решка | 9 | орёл | |||
10 | решка | 11 | решка | 12 | решка | |||
13 | орёл | 14 | решка | 15 | орёл | |||
16 | решка | 17 | орёл | 18 | решка | |||
19 | орёл | 20 | орёл | 21 | решка | |||
22 | орёл | 23 | орёл | 24 | орёл | |||
25 | решка | 26 | орёл | 27 | решка | |||
28 | решка | 29 | решка | 30 | орёл | |||
31 | орёл | 32 | орёл | 33 | решка | |||
Таблица 1. Испытания Бернулли. Результаты бросания монеты. Орёл выпал 15 раз |
В результате проведения ряда экспериментов мы получим вероятность положительного исходного событий, в приведённом эксперименте орёл выпал 15 раз, значит вероятность выпадения орла равна:
P(x) = Nудачно/Nвсего = 15/33 = 0.45
Формула биномиального распределения
Биномиальное распределение зависит от двух параметров: число испытаний и количество успешных событий.
Формула функции вероятности биномиального распределения:
P(X) = (nk)·pk·qn-k, (nk) - биномиальный коэффициент
(nk) = (n!)/[(n-k)!k!]
И, поскольку распределение дискретное, формула функции распределения записывается как сумма вероятностей:
k ∈ [0, ⌊y⌋], F(X) = Σ(nk)·pkqn-k
Значения математического ожидания и дисперсии распределения Бернулли равны соответственно:
E[X] = np
D[X] = npq
Пример
Пользуясь данными таблицы 1 оценим монетку и в следующий раз при броске загадаем нужную нам сторону :) .
Предположим мы подбросим пять раз монету, чья сторона выпала больше - тот и побеждает, какова вероятность что орёл победит?
Исходные данные:
n = 5
k = 3
p = 0.45
q = 0.55
Вероятности:
P(n = 5, k = 3) = 120 / [2 · 6] · 0.453 · 0.552 = 0.28
P(n = 5, k = 4) = 120 / [1 · 24] · 0.453 · 0.552 = 0.11
P(n = 5, k = 5) = 120 / [1 · 120] · 0.453 · 0.552 = 0.02
F(X) = Σk=3,4,5 P(n = 5, k = k) = 0.41
Таким образом, вероятность, что орёл победит равна 41%