Распределение Пуассона

Если у Вашего провайдера происходят обрывы в среднем на 20 минут в неделю, то какова вероятность, что сегодня интернета не будет целый час? 22.3%! А вот на два часа мы останемся без интернета с вероятностью только 4.3%. Итак, распределение Пуассона как раз для этого, зная среднее значение, мы можем получить вероятность, что событие произойдёт за интересующий нас период.

Вероятность (в общем)

Очень важная вероятность, используется буквально ежедневно на производстве и в сфере обслуживания и других науках. Суть очень проста: если мы знаем вероятность события и если такие события происходят независимо друг от друга, то мы можем узнать:

• a. Вероятность, что произойдёт N событий
• b. Вероятность, что произойдёт меньше или больше чем N событий

Вероятность (конкретный случай)

Пример

На заводе производят 1000 метров кабеля в день, стоимостью 500 рублей за 1 м. В среднем обнаруживается один брак на 300 метров произведённого и тогда метр провода обрезается. Какова вероятность, что за три дня завод потеряет больше 7000 рублей?

Вероятность, что провод окажется бракованным равна 1/300 ~ 0.0033.
Потери завода на 7000 рублей - это 14 бракованных метров.
Параметр лямбда для трёх дней равен: λ 3000*0.0033 = 10.
Куммулятивное значение распределения Пуассона для λ = 10 равно F(14) = 0.9165, откуда вероятность получить больше 14 бракованных метров за три дня равна 1-0.9165 = 0.08835 = 8.3%.

Главная задача таких распределений - возможность предсказать потери, составлять планы на будущее.

Распределение Пуассона - определение

Распределение Пуассона — вероятностное распределение дискретного типа, моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга. Другими словами, если событие происходит с некоторой периодичностью, то мы можем определить вероятность, что такое событие произойдёт n раз за интересующий нас период.

Параметр лямбда - λ

λ = n*p, где p - вероятность успешного события, а n - общее количество событий, для которых ведётся расчёт.
Например, если гроза проходит раз в месяц и мы хотим посчитать вероятность грозы за 24 месяца, то вероятность равна единице, а количество событий равно 24, откуда лямбда равна 24.
Можно считать по-другому, вероятность грозы в конкретный день - 1/30, количество событий - 730 дней, лямбда равна 24.3.

Пример

В тысяче ящиков с антоновками в одном попадается голден, какова вероятность, что в 5000 ящиках будет меньше 4 ящиков с яблоком голден?

Вероятность ящика с яблоком голден - 0.1% (1 ящик на 1000 = 1/1000, если в процентах - 1/1000 * 100 = 0.1%)
Общее количество событий - 5000 ящиков
Из вышесказанного следует:
λ = 5000 * 0.001 = 5
Откуда вероятность равна 26.5% (калькулятор ниже).

Функция вероятности (формула Пуассона)

Вероятность, что успешное событие произойдёт k раз:

f(k) = P(k) = λ^k * e^-λ / k!

Пример

В тысяче ящиков с антоновками в одном попадается голден, какова вероятность, что в 5000 ящиках будет 2 ящика с яблоком голден?

Из предыдущего примера мы знаем, что λ=5, теперь мы ищем вероятность, что k будет равно 2, для этого используем формулу функции вероятности:

f(4) = P(k = 4) = λ^k e^-λ / k! = 5² * e^-5 / 2! = 0.084 = 8.4%

Закон распределения

F(n) = P(k ≤ n) = Г (k+1,λ) / k!

График распределения Пуассона

Обратите внимание, что при увеличении λ, график распределения становится похож на график нормального распределения.

Распределение Пуассона в excel

Функция для нахождения значения распределения Пуассона в эксель так и называется, "ПУАССОН". Функция принимает два обязательных параметра - число и среднее, а также необязательный параметр "Интегральное значение", так, что бы получить значение функции вероятности P(≤n), введите формулу:

=ПУАССОН(n;λ)
=POISSON(n;λ)

Если необхоидмо получить точечное значение, т.е. только для n:

=ПУАССОН(n;λ;ЛОЖЬ) =POISSON(n;λ,FALSE)

Пример: для распределения с параметром λ=5 узнать вероятность происхождения трёх событий:

=ПУАССОН(3;5;ЛОЖЬ) =POISSON(3;5;FALSE)