k-tree

Дисперсионный анализ

В примерах в данной статье данные генерятся при каждой загрузке страницы. Если Вы хотите посмотреть пример с другими значениями - обновите страницу .

ANOVA

ANOVA - это акроним от ANalysis Of VAriance (дисперсионный анализ). Дисперсионный анализ был введён Фишером - английским учёным, сделавшим огромный вклад в развитие науки. ANOVA в статистике - это мощный инструмент для определения влияния различных групп наблюдений между собой.

Пример

Предположим, Вы хотите эмпирическим методом провести исследование бензина на качество, для этого вы заправляете бак на одной заправке и проезжаете n километров, повторяете такой эксперимент, скажем, пять раз, затем проводите такой же эксперимент, только на другой заправке. У Вас два набора данных - заправка A и заправка B. Разумеется, цифры разбегаются, но всё же есть некоторая зависимость, так вот, что бы определить, влияет ли заправка на расход бензина (или данные не связаны между собой) Вы используете дисперсионный анализ.

Дисперсионный анализ позволяет определить какой из факторов влияет больше, внутригрупповой или межгрупповой. В примере выше Вы сможете определить, насколько влияет на расход бензина выбор заправки. В этом суть дисперсионного анализа: узнать, является ли выбранный фактор значимым для выбранных наблюдений.

В некотором смысле, дисперсионный анализ похож на регрессионный и корреляционный анализы, т.к. позволяет определить влияние переменных друг на друга.

Анализ

В теории, для анализа дисперсии выстраивается простая модель, схожая с изучаемой в анализе временых рядов.

Модель

Модель дисперсионного анализа включает в себя среднее значение, эффект эксперимента и случайную ошибку:

y = μ + τ + ε
τ - эффект эксперимента, ε - случайная ошибка

Однофакторный

Однофакторный дисперсионный анализ рассматривает влияние одного критерия, делается это так: мы проводим два эксперимента, в одном из них включаем дополнительный фактор и анализируем, внёс ли этот фактор изменения. В качестве исходных данных рассмотрим результаты ряда экспериментов:

NE1E2E3E4
1514813952
2573310836
3315313331
436498132
5584012342
μi46.644.6116.838.6
μ = (46.6 + 44.6 + 116.8 + 38.6) / 4 = 61.65
Квадрат ошибок внутри групп (Square Sum within group):
SSw = ΣiΣj(yij - μi)2 = 3322.4
Квадрат ошибок между группами (Square Sum between group):
SSb = Σii - μ)2 = 4090.03
Учитывая степени свободы, ожидаемое среднее:
MSw = SSw / a(n-1) = 221.49
MSb = SSb / a-1 = 1022.51
Значение Fкрит :
F0 = MSb/MSw = 4.617

Тест Фишера: если значение F0 окажется больше чем значение F λ,4,15, значит фактор оказывает влияние.

Для n = 20 и a = 5, Fλ,n-a,a-1 = Fλ,15,4 = 5,86
Поскольку F0 = 4.617 < 5.86, то принимаем, что введённый фактор не оказал влияния на результаты эксперимента.

Двухфакторный

При двухфакторном анализе выдвигаются три гипотезы на проверку:

  • Факторы А и В не оказывают влияния на результат
  • Фактор А не оказывает влияния на результат
  • Фактор B не оказывает влияния на результат

Для проведения двухфакторного анализа необходимо составить группы результатов: несколько измерений для всех значения каждого из факторов, т.е.:

A1A2
B1X1a1,b1...XNa1,b1X1a1,b2...XNa1,b2
B2X1a1,b2...XNa1,b2X1a1,b2...XNa1,b2

Далее подсчитывается среднее значение для каждого значения факторов, т.е. среднее для A1, среднее для В1 и т.д. Затем подсчитывается общее среднее для всех результатов. Зададимся количеством критериев: k = 2 (количество критериев А) и m = 2 (количество критериев В).

T = ΣΣΣxijk
Сумма элементов под влиянием фактора A:
TAi = Σxi·k
Сумма элементов под влиянием фактора B:
TBj = Σx·jk
Сумма элементов под влиянием фактора AB:
TAiBj = Σxij·
SST = Σx2ijk - T2/N
SSA = ΣT2Ai/n·m - T2/N
SSB = ΣT2Bj/n·k - T2/N
SSAB = ΣΣT2AiBj/n - SSA - SSB - T2/N
SSE = ΣΣΣx2ijk - ΣΣT2AiBj/n

SST = SSA + SSB + SSAB + SSE

MSE = SSE/(n-1)·m·k
MSA = SSA/k-1
MSB = SSB/m-1
MSAB = SSAB/(m-1)·(k-1)
Тест "Критерий A не оказывает влияние на результат", ν1 = k-1:
FA = MSA/MSE
Тест "Критерий B не оказывает влияние на результат", ν1 = m-1:
FB = MSB/MSE
Тест "Критерии A и B не оказывают влияние на результат", ν1 = (k-1)(m-1):
Fint = MSAB/MSE

Для каждого F, если F > F α,ν12, то гипотеза отвергается. ν2 = N-mk

Многофакторный

Многофакторный анализ аналогичен двухфакторному - проводятся те же операции, но критерии группируются и итеративно находится влияние каждого из факторов.

С повторными измерениями

Дисперсионный анализ с повторными измерениями озночает, что для каждого критерия производилось несколько замеров случайной величины для получения более точного результата (поскольку в ANOVA) используется внутригрупповая сумма квадратов.

Применение

Дисперсионный анализ применяют в самых различных отраслях науки и производства тогда, когда необходимо изучить зависимость критериев на различие средних значений, при этом сравнивается не среднее значение, а разброс результатов вокруг среднего значения, т.е. дисперсию.

Решение задач

В качестве примера приведём задачу из метрологии. На заводе размещены пять станков, на которых производят валы. Необходимо определить, влияет ли выбор станка или подготовка работника на результат производства. Для анализа производят замеры для каждого станка и работника, в результате получается таблица:

Оператор 1
М1 30.082 29.878 30.144 30.284 29.78 29.504 29.632 30.048 29.956 29.76
М2 30.002 30.07 30.111 29.958 29.672 30.017 29.908 29.979 29.856 30.045
М3 30.364 30.307 30.356 30.386 30.352 30.334 30.315 30.343 30.361 30.3
М4 30.378 30.371 30.384 30.329 30.355 30.305 30.31 30.338 30.374 30.35
М5 30.821 30.745 30.332 30.379 30.421 30.866 30.428 30.804 30.482 30.938
Оператор 2
М1 30.361 30.342 30.325 30.306 30.362 30.342 30.373 30.349 30.359 30.364
М2 30.36 30.381 30.333 30.321 30.394 30.316 30.331 30.36 30.359 30.34
М3 30.274 30.23 30.238 30.2 30.249 30.21 30.232 30.246 30.264 30.255
М4 30.077 30.188 30.036 30.014 30.162 30.252 30.043 30.011 30.204 30.171
М5 30.197 29.996 29.847 29.85 29.909 29.982 30.075 29.895 30.233 29.958

Воспользуемся методом двухфакторного анализа, фактор А - оператор, фактор В - станок. Рассчитаем суммы квадратов, для этого необходимо рассчитать значение среднего для каждой из групп:

TTA1TA2 TB1TB2TB3TB4TB5
3022.29 1511.8141510.476 602.551 603.113 605.816 604.652 606.158
SSA = 0.018
SSB = 0.511
SSAB = 4.001
SSE = 1.425

MSA = 0.018
MSB = 0.128
MSAB = 1
MSE = 0.356

FA = 0.051
FB = 0.36
FAB = 2.809

Критические значения для теста Фишера:
Fcrit A = F0.1, 1, 90 = 2.77
Fcrit B = F0.1, 4, 90 = 2.01
Fcrit AB = F0.1, 4, 90 = 2.01

Таблица результатов:

Влияние станка на результат Да 0.051 < 2.77
Влияние квалификации работника на результат Да 0.36 < 2.01
Взаимное влияние квалификации работника и выбора станка на результат Нет 2.809 > 2.01

В excel/Open Calc

Для решения дисперсионного анализа в электронной таблице Вам потребуются следующие формулы:

sumproduct Сумма произведений, используется для нахождения суммы квадратов
finv Обратное значение распределения F - критерий Фишера

Таблица для скачивания в форматах ods и xls.

Скачать статью в формате PDF.

Вам понравилась статья? Да / Нет

Просмотров: 1 904

5 9



© 2015-2018 - K-Tree.ru • Онлайн учебник
Копия материалов, размещённых на данном сайте, допускается только по письменному разрешению владельцев сайта.
По любым вопросам Вы можете связаться по почте info@k-tree.ru