k-tree
биология

Дисперсионный анализ

В примерах в данной статье данные генерятся при каждой загрузке страницы. Если Вы хотите посмотреть пример с другими значениями - обновите страницу .

ANOVA

ANOVA в статистике - это мощный инструмент для определения влияния различных групп наблюдений между собой. Дисперсионный анализ был введён Фишером - английским учёным, сделавшим огромный вклад в развитие науки. ANOVA - это акроним от ANalysis Of VAriance (дисперсионный анализ).

Пример

Предположим, Вы хотите эмпирическим методом провести исследование бензина на качество, для этого вы заправляете бак на одной заправке и проезжаете n километров, повторяете такой эксперимент, скажем, пять раз, затем проводите такой же эксперимент, только на другой заправке. У Вас два набора данных - заправка A и заправка B. Разумеется, цифры разбегаются, но всё же есть некоторая зависимость, так вот, что бы определить, влияет ли заправка на расход бензина (или данные не связаны между собой) Вы используете дисперсионный анализ.

Дисперсионный анализ позволяет определить какой из факторов влияет больше, внутригрупповой или межгрупповой. В примере выше Вы сможете определить, насколько влияет на расход бензина выбор заправки. В этом суть дисперсионного анализа: узнать, является ли выбранный фактор значимым для выбранных наблюдений.

В некотором смысле, дисперсионный анализ похож на регрессионный и корреляционный анализы, т.к. позволяет определить влияние переменных друг на друга.

Анализ

В теории, для анализа дисперсии выстраивается простая модель, схожая с изучаемой в анализе временых рядов.

Модель

Модель дисперсионного анализа включает в себя среднее значение, эффект эксперимента и случайную ошибку:

y = μ + τ + ε
τ - эффект эксперимента, ε - случайная ошибка

Однофакторный

Однофакторный дисперсионный анализ рассматривает влияние одного критерия, делается это так: мы проводим два эксперимента, в одном из них включаем дополнительный фактор и анализируем, внёс ли этот фактор изменения. В качестве исходных данных рассмотрим результаты ряда экспериментов:

NE1E2E3E4
1424412551
2353513352
3385813951
4604811339
548379742
μi44.644.4121.447
μ = (44.6 + 44.4 + 121.4 + 47) / 4 = 64.35
Квадрат ошибок внутри групп (Square Sum within group):
SSw = ΣiΣj(yij - μi)2 = 2001.6
Квадрат ошибок между группами (Square Sum between group):
SSb = Σii - μ)2 = 4343.79
Учитывая степени свободы, ожидаемое среднее:
MSw = SSw / a(n-1) = 133.44
MSb = SSb / a-1 = 1085.95
Значение Fкрит :
F0 = MSb/MSw = 8.138

Тест Фишера: если значение F0 окажется больше чем значение F λ,4,15, значит фактор оказывает влияние.

Для n = 20 и a = 5, Fλ,n-a,a-1 = Fλ,15,4 = 5,86
Поскольку F0 = 8.138 > 5.86, то принимаем, что введённый фактор оказал влияние на результаты эксперимента.

Двухфакторный

При двухфакторном анализе выдвигаются три гипотезы на проверку:

  • Факторы А и В не оказывают влияния на результат
  • Фактор А не оказывает влияния на результат
  • Фактор B не оказывает влияния на результат

Для проведения двухфакторного анализа необходимо составить группы результатов: несколько измерений для всех значения каждого из факторов, т.е.:

A1A2
B1X1a1,b1...XNa1,b1X1a1,b2...XNa1,b2
B2X1a1,b2...XNa1,b2X1a1,b2...XNa1,b2

Далее подсчитывается среднее значение для каждого значения факторов, т.е. среднее для A1, среднее для В1 и т.д. Затем подсчитывается общее среднее для всех результатов. Зададимся количеством критериев: k = 2 (количество критериев А) и m = 2 (количество критериев В).

T = ΣΣΣxijk
Сумма элементов под влиянием фактора A:
TAi = Σxi·k
Сумма элементов под влиянием фактора B:
TBj = Σx·jk
Сумма элементов под влиянием фактора AB:
TAiBj = Σxij·
SST = Σx2ijk - T2/N
SSA = ΣT2Ai/n·m - T2/N
SSB = ΣT2Bj/n·k - T2/N
SSAB = ΣΣT2AiBj/n - SSA - SSB - T2/N
SSE = ΣΣΣx2ijk - ΣΣT2AiBj/n

SST = SSA + SSB + SSAB + SSE

MSE = SSE/(n-1)·m·k
MSA = SSA/k-1
MSB = SSB/m-1
MSAB = SSAB/(m-1)·(k-1)
Тест "Критерий A не оказывает влияние на результат", ν1 = k-1:
FA = MSA/MSE
Тест "Критерий B не оказывает влияние на результат", ν1 = m-1:
FB = MSB/MSE
Тест "Критерии A и B не оказывают влияние на результат", ν1 = (k-1)(m-1):
Fint = MSAB/MSE

Для каждого F, если F > F α,ν12, то гипотеза отвергается. ν2 = N-mk

Многофакторный

Многофакторный анализ аналогичен двухфакторному - проводятся те же операции, но критерии группируются и итеративно находится влияние каждого из факторов.

С повторными измерениями

Дисперсионный анализ с повторными измерениями озночает, что для каждого критерия производилось несколько замеров случайной величины для получения более точного результата (поскольку в ANOVA) используется внутригрупповая сумма квадратов.

Применение

Дисперсионный анализ применяют в самых различных отраслях науки и производства тогда, когда необходимо изучить зависимость критериев на различие средних значений, при этом сравнивается не среднее значение, а разброс результатов вокруг среднего значения, т.е. дисперсию.

Решение задач

В качестве примера приведём задачу из метрологии. На заводе размещены пять станков, на которых производят валы. Необходимо определить, влияет ли выбор станка или подготовка работника на результат производства. Для анализа производят замеры для каждого станка и работника, в результате получается таблица:

Оператор 1
М1 30.484 30.887 30.896 30.483 30.862 30.964 30.772 30.998 30.78 30.725
М2 30.816 30.95 30.863 30.653 30.926 30.882 30.657 30.915 30.823 30.655
М3 29.971 29.612 30.019 29.646 29.556 29.995 29.609 29.914 29.999 30.286
М4 30.378 30.331 30.512 30.322 30.551 30.596 30.362 30.588 30.373 30.306
М5 30.3 30.3 30.3 30.3 30.3 30.3 30.3 30.3 30.3 30.3
Оператор 2
М1 30.811 30.384 30.608 30.824 30.971 30.625 30.781 30.563 30.866 30.637
М2 30.37 30.306 30.368 30.364 30.393 30.38 30.317 30.387 30.33 30.35
М3 30.911 30.599 30.858 30.372 30.588 30.936 30.747 30.439 30.586 30.387
М4 30.306 30.317 30.309 30.349 30.36 30.313 30.379 30.359 30.393 30.321
М5 30.294 30.22 30.205 30.284 30.202 30.296 30.259 30.226 30.227 30.293

Воспользуемся методом двухфакторного анализа, фактор А - оператор, фактор В - станок. Рассчитаем суммы квадратов, для этого необходимо рассчитать значение среднего для каждой из групп:

TTA1TA2 TB1TB2TB3TB4TB5
3044.887 1521.9171522.97 614.921 611.705 605.03 607.725 605.506
SSA = 0.011
SSB = 3.598
SSAB = 4.175
SSE = 1.765

MSA = 0.011
MSB = 0.9
MSAB = 1.044
MSE = 0.441

FA = 0.025
FB = 2.041
FAB = 2.367

Критические значения для теста Фишера:
Fcrit A = F0.1, 1, 90 = 2.77
Fcrit B = F0.1, 4, 90 = 2.01
Fcrit AB = F0.1, 4, 90 = 2.01

Таблица результатов:

Влияние станка на результат Да 0.025 < 2.77
Влияние квалификации работника на результат Нет 2.041 > 2.01
Взаимное влияние квалификации работника и выбора станка на результат Нет 2.367 > 2.01

В excel/Open Calc

Для решения дисперсионного анализа в электронной таблице Вам потребуются следующие формулы:

sumproduct Сумма произведений, используется для нахождения суммы квадратов
finv Обратное значение распределения F - критерий Фишера

Таблица для скачивания в форматах ods и xls.

Скачать статью в формате PDF.

Вам понравилась статья? Да / Нет

Просмотров: 7 409

5 24