k-tree
Электронный учебник

Дисперсионный анализ

В примерах в данной статье данные генерятся при каждой загрузке страницы. Если Вы хотите посмотреть пример с другими значениями - обновите страницу .

ANOVA

ANOVA в статистике - это мощный инструмент для определения влияния различных групп наблюдений между собой. Дисперсионный анализ был введён Фишером - английским учёным, сделавшим огромный вклад в развитие науки. ANOVA - это акроним от ANalysis Of VAriance (дисперсионный анализ).

Пример

Предположим, Вы хотите эмпирическим методом провести исследование бензина на качество, для этого вы заправляете бак на одной заправке и проезжаете n километров, повторяете такой эксперимент, скажем, пять раз, затем проводите такой же эксперимент, только на другой заправке. У Вас два набора данных - заправка A и заправка B. Разумеется, цифры разбегаются, но всё же есть некоторая зависимость, так вот, что бы определить, влияет ли заправка на расход бензина (или данные не связаны между собой) Вы используете дисперсионный анализ.

Дисперсионный анализ позволяет определить какой из факторов влияет больше, внутригрупповой или межгрупповой. В примере выше Вы сможете определить, насколько влияет на расход бензина выбор заправки. В этом суть дисперсионного анализа: узнать, является ли выбранный фактор значимым для выбранных наблюдений.

В некотором смысле, дисперсионный анализ похож на регрессионный и корреляционный анализы, т.к. позволяет определить влияние переменных друг на друга.

Анализ

В теории, для анализа дисперсии выстраивается простая модель, схожая с изучаемой в анализе временых рядов.

Модель

Модель дисперсионного анализа включает в себя среднее значение, эффект эксперимента и случайную ошибку:

y = μ + τ + ε
τ - эффект эксперимента, ε - случайная ошибка

Однофакторный

Однофакторный дисперсионный анализ рассматривает влияние одного критерия, делается это так: мы проводим два эксперимента, в одном из них включаем дополнительный фактор и анализируем, внёс ли этот фактор изменения. В качестве исходных данных рассмотрим результаты ряда экспериментов:

NE1E2E3E4
1535813436
2485710234
3445712059
432408133
5595612558
μi47.253.6112.444
μ = (47.2 + 53.6 + 112.4 + 44) / 4 = 64.3
Квадрат ошибок внутри групп (Square Sum within group):
SSw = ΣiΣj(yij - μi)2 = 3131.2
Квадрат ошибок между группами (Square Sum between group):
SSb = Σii - μ)2 = 3132.6
Учитывая степени свободы, ожидаемое среднее:
MSw = SSw / a(n-1) = 208.75
MSb = SSb / a-1 = 783.15
Значение Fкрит :
F0 = MSb/MSw = 3.752

Тест Фишера: если значение F0 окажется больше чем значение F λ,4,15, значит фактор оказывает влияние.

Для n = 20 и a = 5, Fλ,n-a,a-1 = Fλ,15,4 = 5,86
Поскольку F0 = 3.752 < 5.86, то принимаем, что введённый фактор не оказал влияния на результаты эксперимента.

Двухфакторный

При двухфакторном анализе выдвигаются три гипотезы на проверку:

  • Факторы А и В не оказывают влияния на результат
  • Фактор А не оказывает влияния на результат
  • Фактор B не оказывает влияния на результат

Для проведения двухфакторного анализа необходимо составить группы результатов: несколько измерений для всех значения каждого из факторов, т.е.:

A1A2
B1X1a1,b1...XNa1,b1X1a1,b2...XNa1,b2
B2X1a1,b2...XNa1,b2X1a1,b2...XNa1,b2

Далее подсчитывается среднее значение для каждого значения факторов, т.е. среднее для A1, среднее для В1 и т.д. Затем подсчитывается общее среднее для всех результатов. Зададимся количеством критериев: k = 2 (количество критериев А) и m = 2 (количество критериев В).

T = ΣΣΣxijk
Сумма элементов под влиянием фактора A:
TAi = Σxi·k
Сумма элементов под влиянием фактора B:
TBj = Σx·jk
Сумма элементов под влиянием фактора AB:
TAiBj = Σxij·
SST = Σx2ijk - T2/N
SSA = ΣT2Ai/n·m - T2/N
SSB = ΣT2Bj/n·k - T2/N
SSAB = ΣΣT2AiBj/n - SSA - SSB - T2/N
SSE = ΣΣΣx2ijk - ΣΣT2AiBj/n

SST = SSA + SSB + SSAB + SSE

MSE = SSE/(n-1)·m·k
MSA = SSA/k-1
MSB = SSB/m-1
MSAB = SSAB/(m-1)·(k-1)
Тест "Критерий A не оказывает влияние на результат", ν1 = k-1:
FA = MSA/MSE
Тест "Критерий B не оказывает влияние на результат", ν1 = m-1:
FB = MSB/MSE
Тест "Критерии A и B не оказывают влияние на результат", ν1 = (k-1)(m-1):
Fint = MSAB/MSE

Для каждого F, если F > F α,ν12, то гипотеза отвергается. ν2 = N-mk

Многофакторный

Многофакторный анализ аналогичен двухфакторному - проводятся те же операции, но критерии группируются и итеративно находится влияние каждого из факторов.

С повторными измерениями

Дисперсионный анализ с повторными измерениями озночает, что для каждого критерия производилось несколько замеров случайной величины для получения более точного результата (поскольку в ANOVA) используется внутригрупповая сумма квадратов.

Применение

Дисперсионный анализ применяют в самых различных отраслях науки и производства тогда, когда необходимо изучить зависимость критериев на различие средних значений, при этом сравнивается не среднее значение, а разброс результатов вокруг среднего значения, т.е. дисперсию.

Решение задач

В качестве примера приведём задачу из метрологии. На заводе размещены пять станков, на которых производят валы. Необходимо определить, влияет ли выбор станка или подготовка работника на результат производства. Для анализа производят замеры для каждого станка и работника, в результате получается таблица:

Оператор 1
М1 30.477 30.4 30.457 30.482 30.331 30.343 30.425 30.468 30.396 30.359
М2 31.202 31.094 30.426 31.09 30.491 30.305 30.897 31.084 30.752 30.308
М3 30.39 30.315 30.343 30.346 30.316 30.3 30.353 30.335 30.304 30.302
М4 30.079 30.275 30.052 30.199 30.157 30.215 30.041 30.061 30.294 30.189
М5 30.377 30.706 30.428 30.624 30.461 30.741 30.932 30.733 30.554 30.583
Оператор 2
М1 30.356 30.373 30.353 30.362 30.351 30.348 30.333 30.328 30.339 30.326
М2 30.309 30.343 30.383 30.382 30.345 30.362 30.333 30.331 30.387 30.344
М3 30.327 30.352 30.323 30.382 30.325 30.328 30.348 30.3 30.358 30.383
М4 30.542 30.525 30.329 30.467 30.682 30.531 30.355 30.694 30.716 30.423
М5 30.121 30.239 30.016 30.054 30.073 30.213 30.118 30.199 30.262 30.275

Воспользуемся методом двухфакторного анализа, фактор А - оператор, фактор В - станок. Рассчитаем суммы квадратов, для этого необходимо рассчитать значение среднего для каждой из групп:

TTA1TA2 TB1TB2TB3TB4TB5
3040.04 1522.7921517.248 607.607 611.168 606.73 606.826 607.709
SSA = 0.307
SSB = 0.663
SSAB = 2.298
SSE = 1.771

MSA = 0.307
MSB = 0.166
MSAB = 0.575
MSE = 0.443

FA = 0.693
FB = 0.375
FAB = 1.298

Критические значения для теста Фишера:
Fcrit A = F0.1, 1, 90 = 2.77
Fcrit B = F0.1, 4, 90 = 2.01
Fcrit AB = F0.1, 4, 90 = 2.01

Таблица результатов:

Влияние станка на результат Да 0.693 < 2.77
Влияние квалификации работника на результат Да 0.375 < 2.01
Взаимное влияние квалификации работника и выбора станка на результат Да 1.298 < 2.01

В excel/Open Calc

Для решения дисперсионного анализа в электронной таблице Вам потребуются следующие формулы:

sumproduct Сумма произведений, используется для нахождения суммы квадратов
finv Обратное значение распределения F - критерий Фишера

Таблица для скачивания в форматах ods и xls.

Скачать статью в формате PDF.

Вам понравилась статья? /

Просмотров: 10 649

Рейтинг: 5 (31 голос)